使用百分点定义分布

Question

在@Risk和Crystal Ball中，我们可以使用百分位数据定义概率分布。例如，我们可以通过输入3个数据点来定义对数正态分布，例如， P10，P50和P90估计。然后该软件将提供分发的PDF。这实际上是怎么做到的？ Matlab，Excel或Mathematica中的示例都没问题。

在文档中，没有明确说明软件是如何进行的。

Answer 1

从正态分布得出的对数正态分布开始，均值= 1，标准差= 0.5，计算第10，第50和第90百分位。

μ = 1;
σ = 0.5;

p[n_] := Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], n]

p10 = p[0.1]

  

1.43222

p50 = p[0.5]

  

2.71828

p90 = p[0.9]

  

5.15917

Show[
  Plot[PDF[LogNormalDistribution[μ, σ], x], {x, 0, 12}],
  Plot[PDF[LogNormalDistribution[μ, σ], x], {x, 0, #},
    PlotStyle -> None, Filling -> Axis] & /@ {p10, p50, p90},
  Epilog -> MapThread[Inset[#1, {#2, 0.025}] &,
   {{"p10", "p50", "p90"}, {p10, p50, p90}}]]

现在仅根据OP的问题需要从百分位数计算μ和σ。

Clear[μ, σ]

sol = Quiet@First@Solve[{
     Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], 0.1] == p10,
     Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], 0.5] == p50, 
     Quantile[LogNormalDistribution[μ, σ], 0.9] == p90}, {μ, σ}]

  

{μ - > 1.，σ - ＆gt; 0.5}

对数正态均值和方差：

Mean[LogNormalDistribution[μ, σ]] /. sol

  

3.08022

Variance[LogNormalDistribution[μ, σ]] /. sol

  

2.69476

检查符号评估和定义以理解计算。