根据百分位数排列生成分布

Question

我想在R中生成一个分布，给出以下score and percentile ranks。

x <- 1:10
PercRank <- c(1, 7, 12, 23, 41, 62, 73, 80, 92, 99)

例如，

PercRank = 1表示1％的数据具有value/score <= 1（x的第一个值）。同样，PercRank = 7表示7％的数据有value/score <= 2等等。

我不知道如何找到基础分布。如果我能从如此多的信息中获得关于如何获得基础分布pdf的指导，我会很高兴。

Answer 1

来自Wikipedia：

  

分数的百分位数是其频率分布中与其相同或更低的分数百分比。

为了说明这一点，让我们创建一个分发，例如normal distribution，mean=2和sd=2，以便我们以后可以测试（我们的代码）。

# 1000 samples from normal(2,2)
x1 <- rnorm(1000, mean=2, sd=2)

现在，让我们采取你在帖子中提到的percentile rank。我们将它除以100，以便它们代表累积概率。

cum.p <- c(1, 7, 12, 23, 41, 62, 73, 80, 92, 99)/100

与这些百分位数相对应的值（scores）是什么？

# generating values similar to your x.
x <- c(t(quantile(x1, cum.p)))
> x
 [1] -2.1870396 -1.4707273 -1.1535935 -0.8265444 -0.2888791  
         0.2781699  0.5893503  0.8396868  1.4222489  2.1519328

这意味着1％的数据小于-2.18。 7％的数据小于-1.47等...现在，我们有x和cum.p（相当于您的PercRank）。让我们忘记x1以及这应该是正态分布的事实。为了找出它可能是什么分布，让我们通过使用获得第n和第（n-1）个元素之间差异的diff从累积概率中获得实际概率。

prob <- c( cum.p[1], diff(cum.p), .01)
> prob
# [1] 0.01 0.06 0.05 0.11 0.18 0.21 0.11 0.07 0.12 0.07 0.01

现在，我们所要做的就是为x (x[1]:x[2], x[2]:x[3] ...)的每个区间生成大小的样本，比如说100（可以是任意数字），然后最终从这个庞大的数据中采样多个根据需要（例如，10000）指出上述概率。

这可以通过以下方式完成：

freq <- 10000 # final output size that we want

# Extreme values beyond x (to sample)
init <- -(abs(min(x)) + 5) 
fin  <- abs(max(x)) + 5

ival <- c(init, x, fin) # generate the sequence to take pairs from
len <- 100 # sequence of each pair

s <- sapply(2:length(ival), function(i) {
    seq(ival[i-1], ival[i], length.out=len)
})
# sample from s, total of 10000 values with probabilities calculated above
out <- sample(s, freq, prob=rep(prob, each=len), replace = T)

现在，我们有来自分发的10000个样本。我们来看看它是怎么回事。它应该类似于正态分布，均值= 2且sd = 2.

> hist(out)

> c(mean(out), sd(out))
# [1] 1.954834 2.170683

这是mean = 1.95和sd = 2.17 (~ 2)的正态分布（来自直方图）。

注意：我所解释的一些事情可能是环形交叉和/或代码“可能/可能不会”与其他一些发行版一起使用。这篇文章的重点只是用一个简单的例子来解释这个概念。

修改：为了澄清@Dwin's点，我尝试了与OP问题相对应的x = 1:10相同的代码，使用相同的代码替换x的值

cum.p <- c(1, 7, 12, 23, 41, 62, 73, 80, 92, 99)/100
prob <- c( cum.p[1], diff(cum.p), .01)
x <- 1:10

freq <- 10000 # final output size that we want

# Extreme values beyond x (to sample)
init <- -(abs(min(x)) + 1) 
fin  <- abs(max(x)) + 1

ival <- c(init, x, fin) # generate the sequence to take pairs from
len <- 100 # sequence of each pair

s <- sapply(2:length(ival), function(i) {
    seq(ival[i-1], ival[i], length.out=len)
})
# sample from s, total of 10000 values with probabilities calculated above
out <- sample(s, freq, prob=rep(prob, each=len), replace = T)

> quantile(out, cum.p) # ~ => x = 1:10
# 1%     7%    12%    23%    41%    62%    73%    80%    92%    99% 
# 0.878  1.989  2.989  4.020  5.010  6.030  7.030  8.020  9.050 10.010 

> hist(out)

Answer 2

我认为您需要ecdf函数，该函数在quantile帮助页面上被提及为?quantile函数的反函数。

# construct your vector containing the data
PercRank <- c(1, 7, 12, 23, 41, 62, 73, 80, 92, 99)

# construct an empirical cumulative distribution function
# which is really just the `inverse` of `quantile
Fn <- ( ecdf( PercRank ) )
# note that the `ecdf` function returns a function itself.

# calculate what percent of `PercRank` is below these integers..
Fn( 0 )
Fn( 1 )
Fn( 2 )
Fn( 3 )
Fn( 6 )
Fn( 7 )
Fn( 8 )


# re-construct your `x` vector using PercRank
Fn( PercRank ) * 10

Answer 3

此给定生成的数据集具有您指定的功能。如果你想要更多“随机性”，你可以在百分比范围内减去一些随机数到rep结果在匿名函数内：

   > mapply( function(x,y) rep(x, each=y), (x),  diff(c(PercRank, 100) ) )
[[1]]
[1] 1 1 1 1 1 1

[[2]]
[1] 2 2 2 2 2

[[3]]
 [1] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

[[4]]
 [1] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

[[5]]
 [1] 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

[[6]]
 [1] 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

[[7]]
[1] 7 7 7 7 7 7 7

[[8]]
 [1] 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

[[9]]
[1] 9 9 9 9 9 9 9

[[10]]
[1] 10