点的均匀分布

Question

我有m个点，我希望在n维空间中均匀分布。 “均匀”是指所有最短距离对具有相似的值。

换句话说，我希望这些点尽可能均匀地填充空间。

拜托，有谁知道如何实现这一目标？这个问题有名字吗？

编辑：

例如，当我有4个点和2D平面时，坐标应该是[0,1]，[1,0]，[0，-1]，[-1,0]。只是一个广场。对于3D来说，它是一个立方体。但是如果有不同的点数而不是2 ^ n，我不知道该怎么办。

另一种思考方式是将点作为带电粒子彼此排斥。但是运行这样的模拟非常慢......

Answer 1

我相信你可能对low discrepancy sequences感兴趣。它们被用作n.m.评论中描述的均匀分布的确定性类比。它们经常被用在所谓的“准蒙特卡罗”算法中，而不是随机抽样，而是使用在域上或多或少均匀分布的某种点网格。

这样的点序列不一定满足你给出的条件“所有最短距离对具有相似的值”，但我更多地将其解释为尝试描述而不是对问题的硬性要求。如果这非常重要，那么这可能无法解决您的问题。

Answer 2

我想你可能想看看Sphere Packing。

Answer 3

这是另一个想法（它并不完美，但我认为这里没有任何内容，您可能需要根据具体情况的详细信息进行选择）：使用binary space partitioning（more info here）。

一般的想法是你采用你的n维空间并使用（n-1）维表面将其分成两个。然后你拆分这两个新闻空间，依此类推。如果你仔细选择表面（以便它们分成大致相等的体积并避免有趣的形状，对某些有趣的定义），那么你可以看到这将是你所要求的近似值。

这种方法的主要优点是它通常非常快（它用于视频游戏和空间模拟）。它不会像低差异序列那样快（或统一）（听起来真的很酷），但我想它可以在任意凸壳内部工作。