Question

我正在寻找一种算法来优化地在球体表面上分布N个点（不是随机的，我说的是Tammes problem意义上的最佳分布）。我想在C ++中这样做，但问题不是语言问题，而是算法问题。这是我目前使用的算法（在python中）：

# Function to distribute N points on the surface of a sphere 
# (source: http://www.softimageblog.com/archives/115)
def uniform_spherical_distribution(N): 
    pts = []   
    inc = math.pi * (3 - math.sqrt(5)) 
    off = 2 / float(N) 
    for k in range(0, int(N)): 
        y = k * off - 1 + (off / 2) 
        r = math.sqrt(1 - y*y) 
        phi = k * inc 
        pts.append([math.cos(phi)*r, y, math.sin(phi)*r])   
    return pts

对于大量的点，视觉效果似乎相当不错，但是对于较少的点数（在2到10之间），结果看起来并不好（半球中的点数更多）。有没有办法增强算法，以便少数点...（答案可以是C，C ++或Python）。

Answer 1

如果你需要的只是低点数，暴力可能会起作用。蛮力我的意思是预先计算2..10的解决方案并在数组中查找{{1} }}

对于那样的小N<=10，应该可以解决最佳地分配点的数学优化问题。你需要多步，但对于小N s来说它应该不是问题。这是我在AMPL中的尝试：

在我的机器上运行此脚本花了5分钟，解决方案是：

N=2, min distance 2.000000
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-1.000000,  0.000000,  0.000000)

N=3, min distance 1.732051
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-0.500000,  0.866025,  0.000000)
(-0.500000, -0.866025,  0.000000)

N=4, min distance 1.632993
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-0.333333, -0.942809,  0.000000)
(-0.333333,  0.471405, -0.816497)
(-0.333333,  0.471405,  0.816497)

N=5, min distance 1.414214
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-0.208840,  0.977950,  0.000000)
(-0.000000,  0.000000,  1.000000)
(-0.212683, -0.977121,  0.000000)
( 0.000000,  0.000000, -1.000000)

N=6, min distance 1.414214
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-1.000000,  0.000000,  0.000000)
( 0.000000, -0.752754, -0.658302)
( 0.000000,  0.752754,  0.658302)
( 0.000000,  0.658302, -0.752754)
( 0.000000, -0.658302,  0.752754)

N=7, min distance 1.256870
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-0.688059, -0.725655,  0.000000)
( 0.210138, -0.488836, -0.846689)
( 0.210138, -0.488836,  0.846688)
(-0.688059,  0.362827,  0.628435)
(-0.688059,  0.362827, -0.628435)
( 0.210138,  0.977672,  0.000000)

N=8, min distance 1.215563
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
( 0.261204, -0.965284,  0.000000)
( 0.261204,  0.565450,  0.782329)
(-0.783612, -0.482642, -0.391165)
( 0.261204, -0.199917, -0.944355)
( 0.261204,  0.882475, -0.391165)
(-0.783612,  0.599750,  0.162026)
(-0.477592, -0.399834,  0.782329)

N=9, min distance 1.154701
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-0.500000, -0.866025,  0.000000)
( 0.333333, -0.577350, -0.745356)
(-0.500000,  0.866025,  0.000000)
(-0.666667, -0.000000,  0.745356)
(-0.666667,  0.000000, -0.745356)
( 0.333333, -0.577350,  0.745356)
( 0.333333,  0.577350, -0.745356)
( 0.333333,  0.577350,  0.745356)

N=10, min distance 1.091426
( 1.000000,  0.000000,  0.000000)
(-0.605995,  0.795469,  0.000000)
( 0.404394,  0.816443,  0.412172)
(-0.664045, -0.746251, -0.046407)
( 0.404394, -0.363508, -0.839242)
(-0.664045,  0.002497,  0.747688)
(-0.605995,  0.046721, -0.794096)
( 0.404394, -0.908368,  0.106452)
( 0.255933,  0.703344, -0.663179)
( 0.404394, -0.159620,  0.900548)

通过查看数字，很明显可以通过分析计算某些解决方案（我认可sqrt（2）和sqrt（3）等）。我相信对于N = 2,4和6，解是直线（[-1,0,0]，[1,0,0]），四面体，八面体。

没有强保证以上是积分的最佳分配。非线性求解器可能陷入局部最优;随着param N; var x{1..N}; var y{1..N}; var z{1..N}; var d; param xbest{1..N}; param ybest{1..N}; param zbest{1..N}; param dbest; maximize obj: d; all_points_on_the_sphere{i in 1..N}: x[i]^2 + y[i]^2 + z[i]^2 = 1; all_pairs{i in 1..N, j in 1..N : i<j}: (x[i]-x[j])^2 + (y[i]-y[j])^2 + (z[i]-z[j])^2 >= d; fix_first_x: x[1] = 1; fix_first_y: y[1] = 0; fix_first_z: z[1] = 0; fix_second_z: z[2] = 0; ############################################# option show_stats 1; option presolve 10; option substout 1; option var_bounds 2; #option nl_comments 0; #option nl_permute 0; option display_precision 0; option solver "/home/ali/ampl/ipopt"; for {k in 2..10} { let N := k; solexpand _con; let dbest := -1.0; # Multistart for {1..2000} { for {j in 1.._snvars} let _svar[j] := Uniform(-1, 1); let d := N; solve; if (solve_result_num < 200 and d > dbest) then { let dbest := d; for {i in 1..N} { let xbest[i] := x[i]; let ybest[i] := y[i]; let zbest[i] := z[i]; } } } print "@@@"; printf "N=%d, min distance %6f\n", N, sqrt(dbest); for {i in 1..N} printf "(%9.6f, %9.6f, %9.6f)\n", xbest[i], ybest[i], zbest[i]; }的增长，局部最优的数量也会增加。

您可以将上述解决方案放在数组中，并在Python，C ++或您使用的任何语言中使用它们。

球体表面上点的均匀分布？

1 个答案: