Question

我实现了一种谱聚类算法，我必须确保一个矩阵（laplacian）是正半正定的。

检查矩阵是否为正定（PD）就足够了，因为＆＃34;半 - ＆＃34;部分可以在特征值中看到。矩阵非常大（nxn，其中n约为数千），因此特征分析很昂贵。

在Eigen中是否有任何检查可以在运行时产生bool结果？

如果矩阵不是PD，Matlab可以通过抛出异常来给出chol()方法的结果。遵循这个想法，Eigen返回结果而不抱怨LLL.llt().matrixL()，尽管我期待一些警告/错误。 Eigen也有方法isPositive，但是由于bug，它对于具有旧Eigen版本的系统是不可用的。

Answer 1

您可以使用Cholesky分解（LLT），如果矩阵为负数，则返回Eigen::NumericalIssue，请参阅documentation。

以下示例：

#include <Eigen/Dense>

#include <iostream>
#include <stdexcept>

int main()
{
    Eigen::MatrixXd A(2, 2);
    A << 1, 0 , 0, -1; // non semi-positive definitie matrix
    std::cout << "The matrix A is" << std::endl << A << std::endl;
    Eigen::LLT<Eigen::MatrixXd> lltOfA(A); // compute the Cholesky decomposition of A
    if(lltOfA.info() == Eigen::NumericalIssue)
    {
        throw std::runtime_error("Possibly non semi-positive definitie matrix!");
    }    
}

Answer 2

除了@vsoftco的答案外，我们还将检查矩阵对称性，因为PD / PSD的定义需要对称矩阵。

Eigen::LLT<Eigen::MatrixXd> A_llt(A);
if (!A.isApprox(A.transpose()) || A_llt.info() == Eigen::NumericalIssue) {
    throw std::runtime_error("Possibly non semi-positive definitie matrix!");
}

此检查很重要，例如一些本征求解器（例如LTDT）需要PSD（或NSD）矩阵输入。实际上，存在通过A测试的非对称因此非PSD 矩阵A_llt.info() != Eigen::NumericalIssue。考虑下面的示例（数字取自Jiuzhang Suanshu，第8章，问题1）：

Eigen::Matrix3d A;
Eigen::Vector3d b;
Eigen::Vector3d x;

// A is full rank and all its eigen values >= 0
// However A is not symmetric, thus not PSD
A << 3, 2, 1, 
     2, 3, 1, 
     1, 2, 3;
b << 39, 34, 26;

// This alone doesn't check matrix symmetry, so can't guarantee PSD
Eigen::LLT<Eigen::Matrix3d> A_llt(A);
std::cout << (A_llt.info() == Eigen::NumericalIssue) 
          << std::endl;  // false, no issue detected

// ldlt solver requires PSD, wrong answer
x = A.ldlt().solve(b);
std::cout << x << std::endl;  // Wrong solution [10.625, 1.5, 4.125]
std::cout << b.isApprox(A * x) << std::endl;  // false

// ColPivHouseholderQR doesn't assume PSD, right answer
x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
std::cout << x << std::endl;  // Correct solution [9.25, 4.25, 2.75]
std::cout << b.isApprox(A * x) << std::endl;  // true

注意：更确切地说，可以通过检查A是对称的并且所有A的特征值> = 0来应用definition of PSD。但是正如问题中提到的那样，这可能在计算上很昂贵。

特征 - 检查矩阵是否为正（半）确定

2 个答案: