Question

我有一个扁圆椭圆体（x ^ 2 + y ^ 2）/ a ^ 2 + z ^ 2 / b ^ 2和一个空间P点（xp，xp，xp）。

我需要从P找到垂直于椭球的方程，然后找到椭球与此线之间的交点坐标。

Answer 1

任意点的渐变都是(2X/a²,2Y/a²,2Z/b²)，必须与(Xp,Yp,Zp)平行。然后是X/a²Xp=Y/a²Yp=Z/b²Zp。

取消X和Y，

(Z.a²Xp/b²Zp)²/a² + (Z.a²Yp/b²Zp)²/a² + Z²/b² = 1.

为您提供Z。

<强>更新：

正如@dmuir指出的那样，这条线不是通过原点，并行必须是(X-Xp,Y-Yp,Z-Zp)。

这会给X/a²(X-Xp)=Y/a²(Y-Yp)=Z/b²(Z-Zp)。 X和Y仍然可以被删除但是Z的单应函数。我想，Z中的最终等式是四次的。

Answer 2

这有点复杂。在通常的（大地测量）纬度，长度，高度坐标系中，高度确实是沿椭圆体法线的距离。所以你想要的是从ECEF（即x，y，z）坐标到大地坐标的转换的一部分。这将在here中进行讨论，例如

Answer 3

对于扁率椭球，我们可以简化 - 解决轴a和b的椭圆的二维问题，并用坐标P2=(Sqrt(px^2 + py^2), pz)指向，然后将找到的点C2（x，y）转换为3D为

C = (x*cos(f), x*sin(f), y)
where 
f = arctan2(py, px)

从点到椭圆的垂直在最近点与它相交让我们通过角度参数t

写椭圆方程

E(t)= (a * cos(t), b * sin(t))

Min.distance / normal condition导致等式

D' = E'(t) * (E(t) - P2) = 0 (dot product)
-a^2 * cos(t) * sin(t) + p2.x * a * sin(t) + b^2 * cos(t) * sin(t) - p2.y * b * cos(t) = 0

解决t，首先检查cos（t）= 0是否为解。如果不是，除以cos（t）

-a^2 * sin(t) + p2.x * a * tg(t) +  b^2 * sin(t) - p2.y * b = 0

然后通过p = half-angle tangent替换sin和tg并解决4度方程。

p = tg(t/2)
-a^2 * 2 * p / (1 + p^2) + p2.x * a * 2 * p /(1 - p^2) + 
 b^2 * 2 * p / (1 + p^2) - p2.y * b = 0

-a^2 * 2 * p * (1 - p^2) + p2.x * a * 2 * p * (1 + p^2) + 
 b^2 * 2 * p * (1 - p^2) - p2.y * b * (1 - p^4)= 0

椭圆外的点有两个根（内部点最多有4个根，不确定3D中会发生什么）。选择合适的一个（最近点）。如上所述将2D案例转换为3D。

垂直于椭球的方程

3 个答案: