Question

在lambda演算中，如果一个术语具有正常形式，则正常的降阶策略将始终产生它。

我只是想知道如何严格证明上述命题？

Answer 1

你提到的结果是所谓的标准化定理的推论，指出对于任何缩减序列M-> N，在相同的术语M和N之间存在另一个“标准”，其中你在最左边的最外层执行重新索引订购。证据并非如此微不足道，文献中有几种不同的方法。我在下面添加了一个简短的参考书目。

Kashima最近的证据5（另见1）具有不使用残差概念和基于纯粹归纳技术的优点。它也适用于形式化2，但除非你对这个主题没有信心，否则它并不是特别有启发性。

标准化背后的总体思路如下。假设有两个重复索引R和S，其中S位于相对于R的最左侧最外侧位置，并考虑以下减少：

                R      S
             M  ->  P  ->  N

然后，你可以开始射击S，但是这样你就可以复制（或擦除）redex R.这些重复索引，基本上是射击S后剩下的R，被称为残差，通常是表示为R / S（读数：S后的R的残差）。所以，基本的引理是

             R S = S (R/S)

为了将其用于标准化，我们需要将R推广到任意序列ρ（我们可以假设它是标准的，在最左边的最外侧位置w.r.t.S没有重新索引）。

仍是如此

         (*) ρS = S (ρ/S)

但不太明显的是（ρ/ S）的标准化。为此目的，让我们观察ρ是在射击S = C [\ x.M N]之前进行的实质上将该术语拆分为三个不连续的区域：上下文C，M和N. 这导致在三个连续序列中重新分配ρ：

           ρ1   inside M
           ρ2   inside N
           ρ3   inside C

（请记住，没有redex在最左边的最外面的位置w.r.t.S）。唯一可以复制（或擦除）的部分是ρ2和残差 ρ2-0...ρ2-k很容易根据不同的位置排序通过解雇S. So

创建的N个k副本

   S ρ1 ρ2-0 ... ρ2-k ρ_3

是（*）的标准版本。

基本参考书目。

1 A.Asperti，JJ。征收。 The cost of usage in the lambda-calculus。 LICS 2013。

3 H. P. Barendregt。 Lambda Calculus，North-Holland（1984）。

4 G.Gonthier，JJ。宾夕法尼亚州利维。 Mellies。 An abstract standardisation theorem。 LICS '92。

5 R.Kashima。 A proof of the standardization theorem in lambda-calculus。技术报告C-145，东京工业大学，2000。

[6] JW。 Klop。组合减少系统。博士论文，CWI，阿姆斯特丹，1980年。

[7] G.Mitschke。 lambda演算的标准化定理。 Z. Math.Logik。 Grundlag。数学，25：29-31,1979

[8] M.Takahashi。平行减少lambda演算。信息与计算118，pp.120-127,1995。

[9] H. Xi，Upper bounds for standardizations and an application。 Journal of Symboloc Logic 64，pp.291-303,1999。