将Lambda项简化为标准格式

Question

我刚刚了解了lambda演算，但在尝试减少演算时遇到了问题

    (λx. (λy. y x) (λz. x z)) (λy. y y)

还原为正常形式。我进入(λy. y (λy. y y) (λz. (λy. y y) z)，然后迷路了。我不知道从这里去哪里，甚至是正确的。

Answer 1

(λx. (λy. y x) (λz. x z)) (λy. y y)

正如@ymonad所指出的，y参数之一需要重命名以避免捕获（将恰好共享相同名称的不同变量合并）。在这里，我将后一个实例重命名（使用α -equivalence）：

(λx. (λy. y x) (λz. x z)) (λm. m m)

下一步是β -reduce。在此表达式中，我们可以在以下两个位置之一进行操作：我们可以减少最外部的应用程序（λx）或内部的应用程序（λy）。我要进行后者，主要是随心所欲/因为我想了一点，并认为它将导致较短的中间表达式：

(λx. (λz. x z) x) (λm. m m)

还有更多的β还原操作。同样，我将选择内部表达式，因为我可以看到它的去向，但是在这种情况下实际上并不重要，无论如何，我都会得到相同的最终答案：

(λx. x x) (λm. m m)

旁注：这两个lambda表达式（也称为“模仿鸟”（根据Raymond Smullyan））实际上是α等效的，整个表达式是（众所周知的） Ω组合器。但是，如果我们忽略所有这些，然后应用另一个β -reduction：

(λm. m m) (λm. m m)

啊，那仍然是β可还原的。还是？此表达式α等效于前一个表达式。哦，亲爱的，我们似乎发现自己陷入了无限循环，这在图灵完备（或者我们应该说拉姆达完备）语言中总是可能发生的。有人可能将此表示为我们的原始表达式，等于“ bottom”（在Haskell看来），用denoted表示：

(λx. (λy. y x) (λz. x z)) (λy. y y) = ⊥

这是一个错误吗？好吧，一些好的液相色谱理论要知道：

• 如果表达式具有β-正态形式，则无论还原顺序如何，它都将是相同的β-正态形式被用来达到它，并且
• 如果表达式具有β正常形式，则可以保证正常顺序求值。

那么什么是正常订单？简而言之，它是β-在每个步骤中减少最外面的表达。让这个表情再旋转一次！

(λx. (λy. y x) (λz. x z)) (λm. m m)
(λy. y (λm. m m)) (λz. (λm. m m) z)
(λz. (λm. m m) z) (λm. m m)
(λm. m m) (λm. m m)

该死。看起来该表达式没有正常形式-它发散（不会终止）。