Question

我试图找出解决这个问题的方法：给定图G =（V，E）证明所有n的e＆lt; = n（n-1）/ 2，其中e是数字edge和n是顶点的数量。

我认为我应该以某种方式使用数学归纳来找出正确的答案，并使用n = 1或0来表示我的假设，但我对后来做的事情有点困惑 - - 如果我假设n = k，那么：e＆lt; =（k + 1）k / 2。如果n = k + 1则e <= k（k-1）/ 2。

根据我的理解，每个顶点都有n-1个可能的边缘出来，并且有n个总顶点，这是n（n-1）来自的地方，除以2去掉重复。但我不确定我是如何证明这一点的。

Answer 1

多图表的声明为false。拿图表来说：

 /---\
O-----O

有两个顶点（O）和两个边;因此n=2,e=2并代入n(n-1)/2 <= e会导致1 <= 2为假。

但是，如果将图形限制为简单 - 禁止循环边缘（边缘的两端终止于同一顶点），多边缘（其中两条边连接同一对顶点）并且图形为没有人 - 然后财产保留。

考虑一个完整的图K_n（带n个顶点）：每个n个顶点都通过连接边缘入射到其他n-1个顶点，因此有{ {1}}从一个顶点到另一个顶点的连接;如果边是无向的，那么这将计算每个边两次（即从顶点n(n-1)到顶点A计数，反之亦然），然后边的总数将是B。

任何图n(n-1)/2（G_n个顶点）都是n的子图（因为您不能在K_n添加任何边，而不创建多个循环边缘）然后K_n中的边缘必须与G_n中的边相等或更少。

因此K_n适用于所有简单图表。

如果您进一步将图表限制为平面，则可以说明e <= n(n-1)/2（e <= 3n - 6时）。