Question

证明图表G=(V,E)至少包含|v|-|E|个组件

我需要通过示例和完整描述来回答上述问题。

Answer 1

带| V |的图表顶点和没有边精确| V |组件。添加边可以减少最多一个组件的数量（如果边缘入射的顶点先前没有通过另一个路径连接;否则，组件的数量不会减少）。因此，在添加| E |之后，组件的数量最少边是| V | - | E |并且没有| V |的图表顶点和| E |边缘可以少于这么多组件。

Answer 2

声明：具有顶点Ci的每个组件Vi至少有|Vi|-1条边。
证明：仅包含Vi的子图连接，最小连通图是一个具有|Vi|-1边的树。如果Ci边缘少于Vi-1 - 它就不会被连接，这与我们定义Ci的方式相矛盾。

表示Ei组件Ci中的边数。
请注意sum{|Ei| for each Ci} = E，因为没有边连接组件Ci和组件Cj（否则它们将自己连接）。现在，让我们对所有Ci中的所有边缘求和，我们就会得到

|E| =(1) sum { |Ei| } >=(2) sum{|Vi|-1} =(3) |V| - sum{1 | for each Ci} 
                                  =(4) |V| - #components
->
|E| >= |V| - #components
#components >= |V| - |E|

<强> QED

上述证明中的平等解释：

（1）来自将每个分量中的所有边相加到|E|，因为没有交叉组件的边（如上所述）
（2）来自我们证实的主张
（3）求和| Vi |所有Ci结果|V|
（4）对每个组件求和1得到组件数

证明图G =（V，E）至少具有| v | - | E |组件

2 个答案: