双递归函数的时间复杂度

Question

所以这就是代码：

int test ( int n) 
{ 
   if (n ≤2) return 1; 
   else return test(n-2) * test(n-2); 
} 

我对如何推理这种递归函数没有信心。我尝试将N值映射到递归深度，如下所示：

N = 2 -> 0 recursions
N = 4 -> 2
N = 8 -> 14

但说实话，我不确定这会让我在任何地方（只是考虑测试（16）会伤害我的头脑。

Answer 1

让我们首先写出所做调用总数的递归关系：

• T（0）= T（1）= T（2）1，因为有一个总呼叫（初始呼叫）。
• T（n + 2）= 2T（n）+ 1，因为有一次调用初始调用，加上两次递归调用大小为n的问题。

让我们先看看n是偶数的情况。然后

• T（0）= 1
• T（2）= 1
• T（4）= 2T（2）+ 1 = 3
• T（6）= 2T（4）+ 1 = 7
• T（8）= 2T（6）+ 1 = 15
• T（9）= 2T（8）+ 1 = 31

除了0的情况之外，看起来这些值采用模式1,3,7,15,31等。请注意，这些值中的每一个都小于2的幂：1 = 2 - 1， 3 = 4 - 1,7 = 8 - 1等我们可以猜测我们所看到的与2的幂有关。

回到我们的序列，我们可能会猜测

• T（2）= 1 = 2 ¹ -1
• T（4）= 3 = 2 ² -1
• T（6）= 7 = 2 ³ -1
• ...
• T（2n）= 2 ⁿ - 1

因此，如果n是偶数，我们有T（n）= 2 ^{n / 2} - 1 =（√2） ⁿ - 1.你可以使用它来形式化通过归纳证明。

对于奇怪的情况，我们基本上得到了相同的东西：

• T（1）= 1
• T（3）= 2T（1）+ 1 = 3
• T（5）= 2T（3）+ 1 = 7
• T（7）= 2T（5）+ 1 = 15
• T（9）= 2T（7）+ 1 = 31
• ...
• T（2n + 1）= 2 ⁿ -1

因此，如果n是偶数，那么T（n）= 2 ^{（n-1）/ 2} - 1.再次，你可以通过归纳来证明这一点，如果你做了正式的事情。等。