Question

我在证明期间有以下内容，其中我需要将normal_form step t替换为value t，因为有一个经证实的定理是等价的。

H1 : t1 ==>* t1' /\ normal_form step t1'
t2' : tm
H2 : t2 ==>* t2' /\ normal_form step t2'
______________________________________(1/1)
exists t' : tm, P t1 t2 ==>* t' /\ normal_form step t'

等价定理是：

Theorem nf_same_as_value
 : forall t : tm, normal_form step t <-> value t

现在，我可以使用这个定理重写假设中的normal_form次出现，目标中的 但不是 。那是

rewrite nf_same_as_value in H1; rewrite nf_same_as_value in H2.

对假设有效，但目标rewrite nf_same_as_value.给出：

Error:
Found no subterm matching "normal_form step ?4345" in the current goal.

目标上的rewrite理论上是不可能的，还是实施问题？

- 编辑 -

我的困惑在于，如果我们定义normal_form step = value，重写就会奏效。如果我们定义forall t, normal_form step t <-> value t，那么如果rewrite未在存在主语中引用，则normal_form step会起作用，但如果它存在于存在主语中则不起作用。

改编@Matt的例子，

Require Export Coq.Setoids.Setoid.
Inductive R1 : Prop -> Prop -> Prop :=
|T1_refl : forall P, R1 P P.

Inductive R2 : Prop -> Prop -> Prop :=
|T2_refl : forall P, R2 P P.

Theorem Requal : R1 = R2. 
Admitted. 

Theorem Requiv : forall x y, R1 x y <-> R2 x y. 
Admitted. 

Theorem test0 : forall y, R2 y y -> exists x, R1 x x. 
Proof.
  intros. rewrite <- Requal in H. (*works*) rewrite Requal. (*works as well*) 

Theorem test2 : forall y, R2 y y -> exists x, R1 x x. 
Proof.
  intros. rewrite <- Requiv in H. (*works*) rewrite Requiv. (*fails*)

令我困惑的是为什么最后一步必须失败。

1 subgoal
y : Prop
H : R1 y y
______________________________________(1/1)
exists x : Prop, R1 x x

这种失败是否与功能扩展性有关？

错误消息特别令人困惑：

Error:
Found no subterm matching "R1 ?P ?P0" in the current goal.

只有一个子项匹配R1 _ _，即R1 x x。

另外，根据@larsr，如果使用eexists

，则重写有效

Theorem test1 : forall y, R2 y y -> exists x, R1 x x. 
Proof.
  intros. eexists. rewrite Requiv. (*works as well*) apply H. Qed.

eexists在这里添加了什么？

Answer 1

重写不能归于存在量词。在进行重写之前，您需要首先实例化t'。请注意，econstructor在这种情况下可能是一种有用的策略，它可以用统一变量替换存在量词。

编辑以回应OP的评论

这对于平等仍然不起作用。例如，尝试：

Inductive R1 : Prop -> Prop -> Prop :=
|T1_refl : forall P, R1 P P.

Inductive R2 : Prop -> Prop -> Prop :=
|T2_refl : forall P, R2 P P.

Theorem Req : forall x y, R1 x y = R2 x y. 
Admitted. 

Theorem test : forall y, R2 y y -> exists x, R1 x x. 
Proof.
  intros. rewrite Req. (*rewrite still fails*)

问题实际上不是关于平等与iff，问题涉及绑定下的重写（在本例中是lambda）。 exists x : A, P的{{3}}实际上只是ex A (fun x => P x)的语法，因此重写失败不是因为iff，而是因为rewrite策略不希望置于绑定之下x中的(fun x => P x)。似乎可能有一种方法可以用The implementation来做到这一点，但是，我对此没有任何经验。

重写适用于=但不适用于＆lt; - ＆gt; （iff）在Coq

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