如何投影（使用`proj1`或`proj2`）一个普遍量化的双条件（iff）？

Question

如何投影（使用proj1或proj2）通用量化的双条件（iff），如下例所示？

Parameter T : Set.
Parameter P Q R: T -> Prop.
Parameter H : forall (t : T), P t <-> Q t.

当我尝试使用proj1 H时，它会因以下错误而失败：

  

错误：术语＆＃34; H＆＃34;具有类型＆＃34; foral t：T，P t - ＆lt; - ＆gt; Q t＆＃34;虽然它是   期望有类型＆＃34;？A / \？B＆＃34;。

虽然我想获得forall (t : T), P t -> Q t。

修改

使用suggested solution，我现在有两种方法来投射双条件：

Theorem proj1' : (forall t, P t <-> Q t) -> forall t, P t -> Q t.
Proof.
  intros H t.
  exact (proj1 (H t)).
Qed.

Theorem foo : forall (t1 t2 : T),
  (R t1 -> P t1) ->
  (R t2 -> P t2) ->
  R t1 /\ R t2 -> Q t1 /\ Q t2.
Proof.
  intros t1 t2 H1 H2 [H3 H4].

  (* Does not solve the goal, as expected. *)
  auto using H.

  (* Solves the goal, but is unnecessary explicit. *)
  (* auto using (proj1 (H t1)), (proj1 (H t2)). *)

  (* Solves the goal and instanciations are infered. *)
  auto using (proj1' H).
Qed.

现在，像proj1'这样的函数似乎非常有用。如果标准库中没有提供它，是不是因为这种情况实际上并不足以证明它是合理的，还是仅仅是历史事故？

我确实认识到需要两种，三种等通用量化的独特功能（例如proj1'' : (forall t u, P t u <-> Q t u) -> forall t u, P t u -> Q t u）。但对于大多数情况来说，多达三个或四个参数的函数是否足够？

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