Question

我注意到，auto忽略了双向性。这是一个简化的例子：

Parameter A B : Prop.
Parameter A_iff_B : A <-> B.

Theorem foo1: A -> B.
Proof.
  intros H. apply A_iff_B. assumption.
Qed.

Theorem bar1: B -> A.
Proof.
  intros H. apply A_iff_B. assumption.
Qed.

Theorem foo2_failing: A -> B.
Proof.
  intros H. auto using A_iff_B.
Abort.

Theorem bar2_failing: B -> A.
Proof.
  intros H. auto using A_iff_B.
Abort.

现在，我知道A <-> B是A -> B /\ B -> A的语法糖，所以我写了两个定理来提取一个或另一个：

Theorem iff_forward : forall {P Q : Prop},
  (P <-> Q) -> P -> Q.
Proof.
  intros P Q H. apply H.
Qed.

Theorem iff_backward : forall {P Q : Prop},
  (P <-> Q) -> Q -> P.
Proof.
  intros P Q H. apply H.
Qed.

Theorem foo3: A -> B.
Proof.
  intros H.
  auto using (iff_forward A_iff_B).
Qed.

Theorem bar3: B -> A.
Proof.
  intros H.
  auto using (iff_backward A_iff_B).
Qed.

apply A_iff_B如何运作，auto using A_iff_B没有？一世以为auto n正在对所有人进行详尽的搜索使用假设的apply长度＆lt; = n的可能序列以及给定数据库中的所有定理。
是否存在使用双向数据的标准技巧这两个投影功能是通常的解决方案吗？
这些投影功能是否在标准库中的某处？一世找不到他们。

Answer 1

apply A_iff_B works和auto using A_iff_B怎么没有？

auto通常使用simple apply代替apply而apply的此受限版本不会处理双向内容。

是否有使用双向导的标准技巧，或者这两种投影功能是通常的解决方案吗？

您可以使用Hint Resolve -> (<-)功能：

Hint Resolve -> A_iff_B.
Hint Resolve <- A_iff_B. (* if you remove this one, then `auto` won't be able to prove the `bar3` theorem *)

Theorem foo3: A -> B.
Proof. info_auto. Qed. (* look at the output *)

这些投影功能是否在标准库的某处？

是的，他们被称为：proj1和proj2。您可以通过以下方式找到它们：

Search (?A /\ ?B -> ?A).

或者更容易打字，但发现的东西比我们需要的要多：

Search (_ /\ _ -> _).

“auto”如何与biconditional（iff）相互作用

1 个答案: