用基本策略证明不是（如果是（不是））

Question

我在Coq中证明矛盾的经验非常有限，我找不到用基本策略证明以下定理的明确方法：

Theorem thrm : forall a, not (iff a (not a)).

我可以立即用firstorder或intuition证明这一点，但这些策略对我来说就像魔术一样，我的印象是它们涉及一些复杂的自动化。用rewrite，destruct，apply，assert等简单明确的策略证明这个定理的更明确的方法是什么？

Answer 1

为了证明否定命题not something，可以使用intros策略将预期错误的假设添加到上下文中，然后证明上下文确实是不一致的。这是因为not something是something -> False的缩写。您可以通过输入Print not.或在证明unfold not.期间相应地替换目标来注意到这一点。

然后，为了实现如此获得的目标，可以根据具体情况使用几种策略，例如：

• 战术intros，apply，exact和assumption用于最小的命题逻辑;
• 在归纳类型存在的情况下，destruct，inversion，discriminate或injection等策略;
• 等，请参阅Coq reference manual

在您的示例中，intros，destruct，apply和assumption就足够了：

Theorem thrm : forall a, not (iff a (not a)).
Proof.
intros a Hiff; destruct Hiff as [H1 H2].
apply H1; apply H2; intros Ha; apply H1; assumption.
Qed.

请注意，证明也可缩短为此等效版本：

Theorem thrm : forall a, not (iff a (not a)).
Proof. now intros a [H1 H2]; apply H1; apply H2; intros Ha; apply H1. Qed.

其中now something是something; easy的表示法（参见doc）。

希望这有帮助