最小化二次函数受制于规范不等式约束

Question

我正在尝试解决以下不等式约束：

鉴于N股的时间序列数据，我正在尝试构建投资组合权重向量，以尽量减少回报的方差。

目标函数：

min w^{T}\sum w
s.t. e_{n}^{T}w=1
\left \| w \right \|\leq C

其中w是权重向量，\sum是协方差矩阵，e_{n}^{T}是1的向量，C是常量。其中第二个约束（\left \| w \right \|）是不等式约束（权重的2范数）。

我尝试使用nloptr()函数，但它给出了一个错误：提供的算法不正确。我不确定如何选择正确的算法，我也不确定这是否是解决这种不等式约束的正确方法。

我也愿意使用其他功能，只要他们解决了这个约束。

这是我尝试的解决方案：

data <- replicate(4,rnorm(100))
N <- 4
fn<-function(x) {cov.Rt<-cov(data); return(as.numeric(t(x) %*%cov.Rt%*%x))}     
eqn<-function(x){one.vec<-matrix(1,ncol=N,nrow=1); return(-1+as.numeric(one.vec%*%x))}


C <- 1.5
ineq<-function(x){
  z1<- t(x) %*% x
  return(as.numeric(z1-C))  
}   

uh <-rep(C^2,N)
lb<- rep(0,N)
x0 <- rep(1,N)

local_opts <- list("algorithm"="NLOPT_LN_AUGLAG,",xtol_rel=1.0e-7)
opts <- list("algorithm"="NLOPT_LN_AUGLAG,",
             "xtol_rel"=1.0e-8,local_opts=local_opts)
sol1<-nloptr(x0,eval_f=fn,eval_g_eq=eqn, eval_g_ineq=ineq,ub=uh,lb=lb,opts=opts)

Answer 1

这看起来像一个简单的QP（二次规划）问题。使用QP求解器而不是通用NLP（非线性规划）求解器（不需要衍生物，函数等）可能更容易。 R有一个名为quadprog的QP求解器。为quadprog设置问题并非完全无关紧要，但here是一个非常相似的投资组合示例，其中包含完整的R代码，以说明如何解决此问题。它具有相同的目标（最小化风险），相同的预算约束以及下限和上限。该示例只有一个额外的约束，指定了所需的最小投资组合回报。

实际上我误读了这个问题：第二个约束是|| x || ＆lt; = C.我认为我们可以将整个模型表达为：

这实际上看起来像凸模型。我可以用像Cplex，Gurobi和Mosek这样的“大”解决方案解决它。这些求解器支持凸二次约束问题。我也相信这可以表述为锥形编程问题，开辟了更多的可能性。

以下是我在R. cccp中使用package cccp的示例 Cone Constrained Convex Problems是一个CVXOPT的端口。

Answer 2

权重的2范数没有意义。它必须是1标准。这实质上是对投资组合杠杆的限制。 1-norm（w）＆lt; = 1.6意味着投资组合最多为130/30（对不起，这里使用金融语言）。您想要阅读关于二次锥体的信息。 w＆lt; COV w = w＆lt; L＆gt;（Cholesky分解）因此w＆＃39; Cov w = 2-Norm（Lw）^ 2。因此，您可以引入线性约束y-Lw = 0和t> = 2-Norm（Lw）[这定义了二次锥形]。现在你最小化了。 1-范数也可以用锥体代替，因为abs（x_i）= sqrt（x_i ^ 2）= 2-norm（x_i）。因此，为向量x的每个元素引入一个二次锥。