我试图找到如何在R中使用相等和不等式约束来最大化二次函数：
最大化x' * H * x
受制于：Aeq * x = beq
A * x >= b
和x >= 0
问题的简化版本可能是
最大化x^2 + y^2
以x + y = 1为准
和x, y >= 0
由于这是最大化问题，我无法在solve.QP包中使用quadprog功能。
我也尝试使用constrOptim。但请注意，存在一个等式约束，constrOptim需要在可行区域内部进行初始猜测。因此constrOptim不能用于等式约束。
我也尝试在auglag包中使用alabama。但我似乎没有得到最大化问题的正确答案。
如果问题是最小化问题，那么简单问题的答案是x = 0.5和y = 0.5。 auglag和solve.QP都给了我这个答案。
但我正在寻找最大化问题的解决方案。几何的答案位于（x = 1和y = 0）OR（x = 0和y = 1）。
答案 0 :(得分：3)
这不是一个完整的答案，但可能会向您展示一些替代的算法方法。
这个问题似乎是非凸的，这使得它难以解决（并限制了可用软件的数量）。
正如Christoph在评论中提到的，一般非线性优化是一种可能的方法。当然，我们失去了有关全球最佳解决方案的保证。在内部使用优秀的开源软件ipopt的东西将是一个很好的第一次尝试。
您可能会考虑凸凹编程（它解决了全局中的一些简单问题），它具有非常好的工作启发式，称为凸凹程序（Yuille, Alan L., and Anand Rangarajan. "The concave-convex procedure." Neural computation 15.4 (2003): 915-936.），它应该更好地工作而不是更一般的非线性方法。
我不确定在R中是否有一种很好的方法（不用手工完成），但在Python中有一个非常现代的开源研究库dccp（基于{{ 3}}）。
from cvxpy import *
import dccp
from dccp.problem import is_dccp
x = Variable(1)
y = Variable(1)
constraints = [x >= 0, y >= 0, x+y == 1]
objective = Maximize(square(x) + square(y))
problem = Problem(objective, constraints)
print("problem is DCP:", problem.is_dcp())
print("problem is DCCP:", is_dccp(problem))
problem.solve(method='dccp')
print('solution (x,y): ', x.value, y.value)
('problem is DCP:', False)
('problem is DCCP:', True)
iteration= 1 cost value = -2.22820497851 tau = 0.005
iteration= 2 cost value = 0.999999997451 tau = 0.006
iteration= 3 cost value = 0.999999997451 tau = 0.0072
('solution (x,y): ', 0.99999999872569856, 1.2743612156911721e-09)
根据问题的大小（小），您还可以尝试全局非线性求解器，例如cvxpy。
from pyomo.environ import *
model = ConcreteModel()
model.x = Var()
model.y = Var()
model.xpos = Constraint(expr = model.x >= 0)
model.ypos = Constraint(expr = model.y >= 0)
model.eq = Constraint(expr = model.x + model.y == 1)
model.obj = Objective(expr = model.x**2 + model.y**2, sense=maximize)
model.preprocess()
solver = 'couenne'
solver_io = 'nl'
stream_solver = True # True prints solver output to screen
keepfiles = True # True prints intermediate file names (.nl,.sol,...)
opt = SolverFactory(solver,solver_io=solver_io)
results = opt.solve(model, keepfiles=keepfiles, tee=stream_solver)
print("Print values for all variables")
for v in model.component_data_objects(Var):
print str(v), v.value
Couenne 0.5.6 -- an Open-Source solver for Mixed Integer Nonlinear Optimization
Mailing list: couenne@list.coin-or.org
Instructions: http://www.coin-or.org/Couenne
Couenne: new cutoff value -1.0000000000e+00 (0.004 seconds)
NLP0012I
Num Status Obj It time Location
NLP0014I 1 OPT -0.5 6 0.004
Loaded instance "/tmp/tmpLwTNz1.pyomo.nl"
Constraints: 3
Variables: 2 (0 integer)
Auxiliaries: 3 (0 integer)
Coin0506I Presolve 11 (-1) rows, 4 (-1) columns and 23 (-2) elements
Clp0006I 0 Obj -0.9998 Primal inf 4.124795 (5) Dual inf 0.999999 (1)
Clp0006I 4 Obj -1
Clp0000I Optimal - objective value -1
Clp0032I Optimal objective -1 - 4 iterations time 0.002, Presolve 0.00
Clp0000I Optimal - objective value -1
NLP Heuristic: NLP0014I 2 OPT -1 5 0
no solution.
Clp0000I Optimal - objective value -1
Optimality Based BT: 0 improved bounds
Probing: 0 improved bounds
NLP Heuristic: no solution.
Cbc0013I At root node, 0 cuts changed objective from -1 to -1 in 1 passes
Cbc0014I Cut generator 0 (Couenne convexifier cuts) - 0 row cuts average 0.0 elements, 2 column cuts (2 active)
Cbc0004I Integer solution of -1 found after 0 iterations and 0 nodes (0.00 seconds)
Cbc0001I Search completed - best objective -1, took 0 iterations and 0 nodes (0.01 seconds)
Cbc0035I Maximum depth 0, 0 variables fixed on reduced cost
couenne: Optimal
"Finished"
Linearization cuts added at root node: 12
Linearization cuts added in total: 12 (separation time: 0s)
Total solve time: 0.008s (0.008s in branch-and-bound)
Lower bound: -1
Upper bound: -1 (gap: 0.00%)
Branch-and-bound nodes: 0
Print values for all variables
x 0.0
y 1.0
答案 1 :(得分：-1)
您可以使用提供的来解决这个问题它可以处理非凸目标。两点：
x + y >= 1和x + y <= 1，这与x + y = 1相同。这同样适用于一般Aeq*x = b：Aeq*x <= b和Aeq*x >= b