无法理解嵌套循环的大O.

Question

我无法理解以下有关分析以下两种算法的问题的答案。

for (int i = n ; i >= 1; i = i/2) {
   for ( int j = 1; j <= n ; j++) {
     //do something                
   }
}

根据答案，上述算法具有O（n）的复杂度。它不应该低，因为外环总是将我们必须经过的量减半。我认为它应该是O（n / 2 *）的线条？

for ( int j = 1; j <= n ; j++ ) {
    for ( int i = n ; i >= j ; i = i / 2 ) {
       //do something 
    }
}

如果我是正确的，这个是O（n log n）吗？

Answer 1

第一次迭代将执行n步骤，第二次将执行n/2，第三次将执行n/4，依此类推。

如果您为n/(2^i)计算i=0..log n的总和，则大致为2n，这就是O(n)的原因。

如果您从总和中取出n并仅对1/(2^i)部分求和，则会得到2。看一个例子：

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + ... = 2

每个下一个元素都小两倍，因此总和不会超过2。

第二个嵌套循环示例是正确的 - 它是O(n log n)。

修改

在来自ringø的评论后，我重新阅读了这个问题，实际上算法与我所理解的不同。 ringø是正确的，问题中描述的算法是O(n log n)。但是，从上下文来看，我认为OP意味着一种算法，其中内部循环与i而不是n相关联。

这个答案涉及以下算法：

for (int i = n ; i >= 1; i = i/2) {
   for ( int j = 1; j <= i ; j++) {
     //do something                
   }
}