最小切割有向和强连通图中的所有顶点对

Question

我有一个图G是一个有向和强连通的图，我被要求找到所有顶点对的最小切割，这意味着图中的每对S和T.这应该在O（m ² ×n ² ）时间内完成。

我想出的最好的方法是将所有顶点都视为S，并且对于每个S，将所有其他顶点视为T，并且对于每个顶点运行Ford-Fulkerson算法，然后找到最小切割。但如果我没有弄错的话，这个算法将具有O的复杂度（m ² ×n ² ×C）。

如何在O（m ² ×n ² ）时间内完成此任务？它甚至可能吗？

Answer 1

记号：
m：边数为n：节点数量c_max：最大单边容量为C：最大流量值。

结合使用

Dinic's algorithm可以解决手头的任务。它在O(m * n^2)中运行。 O(n^2) min cut计算的强力方法然后产生总共O(m * n^2 * n^2)，这是m = O(n^2)的期望结果。对于m = o(n^2)的稀疏图，我无法找到明确的结果;但是，对于m = O(n) this paper，结果为O(n^2 + n^4 * log n) = O(m^2 * n^2 * log n)。

有几种算法可以在有向图中计算最小切割（或等效地，最大流量），其复杂性保持低于O( m * n^2 )。 Wilf H.S., Algorithms and Complexity, 1st ed.在第65页进行了调查。最易于访问的算法可能是Dinic（O(m * n^2)）。

虽然乍一看Ford-Fulkerson算法的时间复杂度高O( m * C )，但它有一些严重的缺点：

• 时间复杂度仅对整数边缘容量有效。实际上，由于边缘容量不合理，算法甚至不能保证终止，也不能收敛到最大流量（参见this paper以获得可证明最小的反例;本文也在维基百科文章中引用）。 / p>

• 时间复杂度取决于最大流量的值。

流量值的重要性

最大流量值C不一定是节点和边数的函数。即使它（取决于图形拓扑），以下观察也成立：任何图中的最大可能流量值是边数乘以最大边缘容量m * c_max金额为O(m)。

将整数边缘容量的Ford-Fulkerson的复杂性转换为O(m^2)，除非单个边的最大容量是图中节点或边数的函数，这是非标准的假设

对于其他算法没有任何影响，因为它的执行取决于图形拓扑和相对于彼此的边缘容量，而不是绝对边缘容量（因此，也不是最大流量值的函数）