Question

我需要检查有向图是否强连接，换句话说，是否所有节点都可以被任何其他节点（不一定是通过直接边缘）到达。

执行此操作的一种方法是在每个节点上运行DFS和BFS，并查看所有其他节点仍可访问。

有更好的方法吗？

Answer 1

考虑以下算法。

从图v的随机顶点G开始，然后运行DFS(G, v)。
- 如果DFS(G, v)无法覆盖图表G中的每个其他顶点，则会有一些顶点u，因此v没有定向路径到u，因此G 没有强烈关联。
- 如果它到达每个顶点，则会有v到图G中每个其他顶点的有向路径。
反转有向图G 中所有边的方向。
从DFS开始再次运行v。
- 如果DFS无法到达每个顶点，则会有一些顶点u，这样原始图形中就没有从u到v的有向路径。
- 另一方面，如果它确实到达每个顶点，那么在原始图形中，存在从每个顶点u到v 的有向路径。

因此，如果G“通过”两个DFS，则它是强连接的。此外，由于DFS在O(n + m)时间运行，因此该算法在O(2(n + m)) = O(n + m)时间内运行，因为它需要2次DFS遍历。

Answer 2

Tarjan's强连接组件算法（或Gabow's变体）当然就足够了;如果只有一个强连接组件，则图形连接很强。

两者都是线性时间。

与正常深度优先搜索一样，您可以跟踪每个节点的状态：新节点，已查看但仍处于打开状态（它位于调用堆栈中），并且已查看并已完成。此外，您可以在第一次到达节点时存储深度，以及从节点可以访问的最低深度（在完成节点后就知道了这一点）。如果最低可达深度等于其自身深度，则节点是强连接组件的根。即使您从根到达节点的深度不是最小可能的深度，这也可以工作。

要检查整个图是否是单个SCC，请从任何单个节点启动dfs，当您完成时，如果最低可达深度为0，并且每个节点都被访问过，那么整个图是强烈联系。

Answer 3

要检查每个节点是否都具有给定图中每个其他节点的往返路径：

1。来自所有节点的DFS / BFS：

Tarjan's algorithm假定每个节点的深度为d[i]。最初，根的深度最小。然后，我们对d[i] = min(d[j])的任何邻居j进行后DFS更新i。实际上，BFS也可以在此处使用归约规则d[i] = min(d[j])。

function dfs(i)
    d[i] = i
    mark i as visited
    for each neighbor j of i: 
        if j is not visited then dfs(j)
        d[i] = min(d[i], d[j])

如果存在从u到v的转发路径，则为d[u] <= d[v]。因此，在SCC d[v] <= d[u] <= d[v]中，SCC中的所有节点将具有相同的深度。为了判断图是否为SCC，我们检查所有节点是否都具有相同的d[i]。

2。来自单个节点的两个DFS / BFS：

它是Kosaraju’s algorithm的简化版本。从根开始，我们检查DFS / BFS是否可以访问每个节点。然后，反转每个边缘的方向。我们检查是否可以从同一根再次访问每个节点。参见C++ code。

Answer 4

您可以计算All-Pairs Shortest Path并查看是否有无限。

Answer 5

已经提到了Tarjan的算法。但我经常发现Kosaraju's Algorithm更容易理解，即使它需要两次遍历图形。 IIRC，在CLRS中也很好地解释了它。

Answer 6

test-connected(G)
{
    choose a vertex x
    make a list L of vertices reachable from x,
    and another list K of vertices to be explored.
    initially, L = K = x.

    while K is nonempty
    find and remove some vertex y in K
    for each edge (y, z)
    if (z is not in L)
    add z to both L and K

    if L has fewer than n items
    return disconnected
    else return connected
}

Answer 7

这样做的一种方法是为图生成Laplacian matrix，然后计算特征值，最后计算零的数量。如果只存在一个零特征值，则图形是强连接。

注意：注意为有向图创建拉普拉斯矩阵的方法略有不同。

Answer 8

您可以使用Kosaraju基于DFS的简单算法来执行两次DFS遍历图：

这个想法是，如果每个节点都可以从顶点v到达，并且每个节点都可以到达v，那么图形就是强连接的。在算法的第2步中，我们检查是否可以从v到达所有顶点。在步骤4中，我们检查所有顶点是否都可以到达v（在反向图中，如果所有顶点都可以从v到达，那么所有顶点都可以达到v原始值图）。

算法： 1）将所有顶点初始化为未访问。

2）从任意顶点开始对图进行DFS遍历v。如果DFS遍历不访问所有顶点，则返回false。

3）反转所有弧线（或找到图形的转置或反转）

4）在反转图中将所有顶点标记为未访问。

5）从相同的顶点v开始执行反向图的DFS遍历（与步骤2相同）。如果DFS遍历不访问所有顶点，则返回false。否则返回true。

时间复杂度：如果使用邻接列表表示来表示图形，则上述实现的时间复杂度与深度优先搜索相同，即O（V + E）。

检查有向图是否强连接的算法

8 个答案:

1。来自所有节点的DFS / BFS：

2。来自单个节点的两个DFS / BFS：