强连接组件算法澄清

Question

给定图G，可以使用该算法找到SCC：

DFS(G)   // compute finish times f[u]
GT = Transpose(G)
DFS(GT)  // considering vertices in order of decreasing f[u]

我想要了解的是：为什么第二个DFS必须按照完成时间减少的顺序完成，有没有办法证明它？为什么，例如，以递增顺序考虑顶点不能计算出正确的SCC？

我已经在这里阅读了一些答案和例子，但他们没有帮助。问题是如何证明这一事实。

由于

Answer 1

那么，你只想要一个反例？

让我们只取两个顶点（1和2）和一个从1到2的链接（但不是从2到1）的图形。 该图的SCC为{1}和{2}。 从1开始DFS，我们转到2，其中DFS不能扩展得更多，所以2完成，1完成，因为从1的唯一边缘变为2。顺序是2; 1。 让我们转换图形，并且不要故意按照算法通过在2上启动转置图的DFS（我们应该从1开始）。 从2开始，我们可以在转置图上转到1。 DFS给出1和2作为选中，因此{1,2}将是SCC，尽管它不是SCC。

此反例证明我们无法接受第二个DFS所需的顺序，但这并不能证明每次都会得到错误的结果。

例如，让我们使用1到2之间链接的相同图形，以及从2到1的链接。该图形的唯一SCC是{1,2}。 让我们从1开始第一个DFS。这也给出了2的顺序; 1。 现在，如果我们再次在1上启动转置图的DFS，我们将得到{1,2}作为SCC。 因此，对于这种情况，我们有参加的结果。

TL; DR：“获得好结果”和“按降序取顶点”之间没有等价关系。但后者暗示了前者。

Answer 2

好的，明白了。 完成时间的顺序是防止通过（原始图的）交叉边缘访问组件外部的顶点，因为在转置图中，如果{{1}，则连接2个节点u和v }}

但感谢您的回答。