Question

我有一个强连接的有向图（即，对于图G中的每对节点（i，j），存在从i到j和j到i的路径）。我希望从该图中找到一个强连通图，使得所有边的总和最小。

换句话说，我需要摆脱边缘，以便在移除它们之后，图形仍将是强连接的，并且边缘总和的成本最低。

我认为这是NP难题。我正在寻找一个最佳解决方案，而不是近似，用于一小组数据，如20个节点。

修改的

更一般的描述：给定grap G（V，E）找到图G'（V，E'），使得如果在G中存在从v1到v2的路径，则在v1和v1之间也存在路径G'中的v2和E'中每个ei的总和是最不可能的。所以它类似于找到最小等效图，只有在这里我们想要最小化边权重之和而不是边之和。

编辑：

到目前为止我的方法：我想过使用多次访问的TSP来解决它，但这是不正确的。我的目标是覆盖每个城市，但使用最低成本路径。所以，它更像是封面设置问题，我猜，但我不完全确定。我需要使用总成本最低的路径来覆盖每个城市，因此多次访问已访问过的路径不会增加成本。

Answer 1

您的问题被称为最小跨越强子（di）图（MSSS），或更一般地说，最小成本跨越子（di）图并且为NP-hard indeed。另请参阅另一本书：page 501和page 480。

我首先删除所有不满足三角不等式的边 - 你可以删除边a - ＆gt; c如果去a - ＆gt; b - ＆gt; c更便宜。这让我想起了TSP，但不知道这是否会带来任何影响。

我之前的回答是使用解决Chu-Liu/Edmonds algorithm问题的Arborescence;正如Kazoom和ShreevatsaR指出的那样，这没有用。

Answer 2

我会以动态编程的方式尝试这种方式。

0-将图表放入列表

1-制作上一个列表中每个图形的新子图表列表，其中为每个新子图形删除一个不同的边缘

2-删除新列表中的重复项

3-删除新列表中没有强关联的所有图表

4-将新列表中的最佳图表与当前最佳图表进行比较，如果更好，则设置新的当前最佳

5-如果新列表为空，则当前最佳是解决方案，否则，递归/ loop / goto 1

在Lisp中，它可能看起来像这样：

(defun best-subgraph (digraphs &optional (current-best (best digraphs)))
  (let* ((new-list (remove-if-not #'strongly-connected
                                  (remove-duplicates (list-subgraphs-1 digraphs)
                                                     :test #'digraph-equal)))
         (this-best (best (cons current-best new-list))))
    (if (null new-list)
        this-best
        (best-subgraph new-list this-best))))

strongly-connected，list-subgraphs-1，digraph-equal，best和better的定义留给读者练习。

Answer 3

此问题与此处描述的问题相同：http://www.facebook.com/careers/puzzles.php?puzzle_id=1

Answer 4

很少有想法帮助我解决着名的面部谜题：

预处理步骤：

修剪：如果有更便宜或相同的费用路径，则删除所有边a-b，例如：a-c-b。
图表分解：如果图表有关节点，你可以解决子问题
如果只有一个传出边缘，则将顶点合并为一个虚拟顶点。

计算步骤：

使用定向TSP获取近似解决方案并重复访问。使用Floyd Warshall，然后使用匈牙利方法解决分配问题O（N ^ 3）。如果我们得到一次循环 - 它是指向TSP解决方案，如果不是 - 使用分支和绑定TSP。之后我们有上限值 - 最小成本的周期。
精确解决方案 - 分支定界方法。我们从最短周期中移除顶点，并尝试以比上限更低的成本构建强连通图。

这就是所有人。如果您想测试您的解决方案 - 请在此处尝试：http://codercharts.com/puzzle/caribbean-salesman

Answer 5

似乎你基本上想要的是旅行销售员的最佳解决方案，允许不止一次访问节点。

编辑：

嗯。你能解决这个问题，主要是遍历每个节点i然后做一个所有边的最小生成树，指向到那个节点i，与另一个指向的所有边的最小生成树联合起来来自该节点？

Answer 6

听起来您想使用Dijkstra algorithm

Answer 7

最小强连通子图的2近似是通过采用最小入分支和最小出外分支的并集来获得的，两者都以相同（但任意）的顶点为根。 / p>

out-branchching ，也称为arborescence，是一个以跨越所有顶点的单个顶点为根的有向树。内侧分支与反向边缘相同。这些可以在Edmonds' algorithm及时 O（VE）中找到，并且有加速到 O（E log（V））（参见{{3 }}）。甚至有wiki page。

2近似结果的原始参考是open source implementation，但论文无法自由访问。

Adrian Vetta paper by JaJa and Frederickson甚至有3/2的近似值，但比上面更复杂。

最低成本强烈连接有向图

7 个答案: