删除最小数量的顶点以使所有顶点都被隔离

Question

我有一个无向连通图，我想通过删除边而不是顶点来隔离它的所有顶点，我想保持我删除的顶点数量最少。我知道要实现这一点，我必须每次都移除具有最高度数的顶点，直到图形断开连接。但我需要为它编写一个Java程序，我不知道如何跟踪具有最高程度的顶点以及要使用的数据结构。我得到以下输入。

{V, E}：顶点数和边数。
{A - B}：指定边

的顶点对

示例输入：

4 2
1-2
3-4

示例输出：2（这是为了使顶点隔离而需要移除的最小顶点数）

约束：

1 <= V <= 10^5
1 <= E <= 3 * 10^5

Answer 1

我认为贪婪算法在这里并不总是最优，即使任务是隔离顶点，而不是断开图形。

这里的问题是Vertex cover问题，它是NP难的。

对于快速反例，请考虑此图表取自here：

贪婪算法将从根开始，但这需要4个顶点而不是最佳3个。

Answer 2

我将从以下DS开始：

class Node
{
    int ID;
    int NumberOfNeighbors;
    List<int> NeighborIDs;
}

然后继续将所有Node保留在最大堆中（密钥为NumberOfNeighbors）。

你的算法应该是这样的：

int numberOfDeletedNodes = 0;

While (!heap.Empty)
{
    node = heap.PopTop();
    foreach (int ID in node.NeighborIDs)
    {
        tempNode = heap.Extract(ID);
        tempNode.NumberOfNeighbors--;
        tempNode.NeighborIDs.Remove(node.ID);
        if (tempNode.NumberOfNeighbors != 0)
            heap.Insert(tempNode);
    }

    numberOfDeletedNodes++;   
}

我可能错过了一些最终案例或类似的东西，但一般的想法是删除具有最多邻居的节点，照顾所有邻居*，并继续前进，直到堆为空。

* Important: if the neighbors has no more neighbors of its own, it doesn't go back in.

Answer 3

继续移除具有最高度数的顶点并不总是导致移除最少数量的顶点。 考虑具有4个顶点v1到v4的完全连通图（因此每个具有度数3）。现在添加两个顶点v5和v6以及三个边（v3，v5），（v4，v5），（v5，v6）。然后删除v5会断开图形，因为v6不再连接到v1到v4，但v5的程度为3，而v4和v3的程度为4。