嵌套for循环的大O：线性还是二次？

Question

我试图了解如何知道算法中的嵌套for循环是否会产生线性或二次Big-Oh复杂度。以下是我提出的一些示例，但与蛮力循环和图形遍历有关。我试着

我是否正在思考正确的道路？

示例1：

N = ? // Number of elements in an array of integers
For i = 1 to N
    For j = 1 to N
        Print "foo"

• 复杂性： O（N ^ 2）
• 为什么？因为我们有两个嵌套for循环，它们会迭代相同的次数。因为我们在运行期间不知道N的值，那么我们不得不说复杂度是O（N ^ 2）？但是，如果我们硬编码N = 20，那么我们将有O（N）？

示例2：

N = ? // Number of elements in an array of integers
For i = 1 to log(N)
    For-each edge of log(N)
        Print "foo"

• 复杂性： O（log（N）^ 2）
• 为什么？因为我们有两个嵌套for循环，它们会迭代相同的log（N）次。

示例3：

V = ? // Total number of nodes in a graph
E = ? // Total number of edges in a graph (not of each iteration-node)
For i = 1 to V
    For j = 1 to E
        Print "foo"

• 复杂性： O（V * E）
• 为什么？因为我们不知道V = E，所以我们不能说O（V ^ 2）或O（E ^ 2）。我们不知道V> = E还是V <= E。所以我们只说O（V * E）来涵盖所有情况。

示例4：

V = ? // Total number of nodes in a graph
For i = 1 to V
    For-each edge of V[i]
        Print "foo"

• 复杂性： O（| V | + |图中的边|）
• 为什么？因为我们知道|图中的边| ！= | V |，因此迭代次数不成比例。当图表是指向与未指示时，这是否重要？

Answer 1

Big-O表示法描述算法的运行时间如何随输入的大小而变化。

使用示例1，如果将N硬编码为20，则输入没有缩放。该算法实际上变为O(1)。

示例2类似于您对示例1的直觉，除了每个循环仅运行log（n）次迭代。

在示例3中，我将其描述为在O(mn)时间内运行（m =边数，n =顶点数），而不是O(n^2)。

最后一个例子实际上比我第一次给它一点点细微差别（谢谢，@ Harkyl！）。

边缘由顶点分隔，因此除了运行外循环2|E|次之外，有效地运行内循环总共|V|次。这导致您的算法复杂度为O(|V| + 2|E|)。常量通常在big-o表示法中被忽略，因此这被认为与O(|V| + |E|)相同。