Question

在B. Pierce的“类型和编程语言”一书中，作者介绍了一种小语言，以介绍本书中使用的不同概念。

语言如下：

t::=
    true
    false
    if t then t else t
v::=
    true
    false

有三个减少规则：

if true then t2 else t3 \rightarrow t2

if false then t2 else t3 \rightarrow t3

t1 \rightarrow t1'
------------------
if t1 then t2 else t3 \rightarrow if t1' then t2 else t3

我想证明每个普通形式都是一个值。

我对普通表单使用以下定义：

Definition normal_form (t:term) :=
  ~(exists t',  step t t').

我被卡住了，因为有一点，我有一些看起来像：

~ ~(exists t : term, ...)

我不知道如何推断

exists t : term, ...

因为我们处于一种直觉主义的逻辑中。

这是完整的证据：

Inductive term : Set :=
| true : term
| false : term
| ifthenelse : term -> term -> term -> term.


Definition normal_form (t:term) :=
  ~(exists t',  step t t').

Inductive is_value : term -> Prop :=
| vtrue : is_value true
| vfalse : is_value false.


Lemma normal_form_implies_value : forall t, normal_form t -> is_value t.
Proof.
  intro.
  induction t.
  intros.
  apply vtrue.
  intros.
  apply vfalse.
  intros.
  unfold normal_form in H.
  destruct t1.
  unfold not in H.
  assert (exists t' : term, step(ifthenelse true t2 t3) t').
  exists t2.
  apply eiftrue.
  apply H in H0.
  contradiction.
  assert (exists t' : term, step(ifthenelse false t2 t3) t').
  exists t3.
  apply eiffalse.
  apply H in H0.
  contradiction.
  assert(~(is_value (ifthenelse t1_1 t1_2 t1_3))).
  intro.
  inversion H0.
  assert(~(normal_form(ifthenelse t1_1 t1_2 t1_3))).
  intro.
  apply IHt1 in H1.
  contradiction.
  unfold normal_form in H1.
  unfold not in H1.

我应该使用普通表格的其他定义吗？是否有可能在没有任何经典公理的情况下完成证明？

Answer 1

要证明的一个有趣的引理是反转引理，指出如果ifthenelse b l r处于正常形式，那么b，l和r也是如此。

Lemma normal_form_ifthenelse (b l r : term) :
  normal_form (ifthenelse b l r) ->
  normal_form b /\ normal_form l /\ normal_form r.

如果您愿意使用自动化机械的大量帮助，可以很容易地证明这一点。

Proof.
   intros H        (* assumption "normal_form (ifthenelse b l r)" *)
 ; repeat split    (* split the big conjunction into 3 goals *)
 ; intros [t redt] (* introduce the "exists t',  step t t'" proofs
                      all the goals are now "False" *)
 ; apply H         (* because we know that "step t t'", we are going to
                      be able to prove that "step (ifthenelse ...) ..."
                      which H says is impossible *)
 ; eexists         (* we let Coq guess which term we are going to step to *)
 ; constructor     (* we pick the appropriate constructor between the structural ones *)
 ; eapply redt.    (* finally we lookup the proof we were given earlier *)
Qed.

如果这对您来说有点过于自动化，您可以尝试手动证明以下（更简单）的引理，因为这是我们在最终证明中需要的一点：

Lemma normal_form_ifthenelse (b l r : term) :
  normal_form (ifthenelse b l r) -> normal_form b.

然后可以相当快地证明你的引理：在导入的前两个案例中，使用constructor将选择正确的is_value构造函数。

在最后一篇文章中，我们提供了一个归纳假设IHt1，假设t1是normal_form，那么它is_value。我们可以使用我们的中间引理来证明normal_form t1基于我们知道normal_form (ifthenelse t1 t2 t3)并得出结论is_value t1这一事实。

但t1是一个价值的事实与事实normal_form (ifthenelse t1 t2 t3)相矛盾：我们确实可以步入t2或t3，具体取决于t1是否为true false或False_ind。 Lemma normal_form_implies_value : forall t, normal_form t -> is_value t. Proof. intro t; induction t; intro ht. - constructor. - constructor. - destruct (normal_form_ifthenelse _ _ _ ht) as [ht1 _]. apply False_ind, ht; destruct (IHt1 ht1); eexists; constructor. Qed.是我们说“现在我们已经产生矛盾”的一种方式。

public class Model
{
    public int Id { get; set; }
    public Duration ExposureDuration { get; set; }
}

public class Duration
{
    public int Value { get; set; }
    public string Unit { get; set; }
}

//Adding this will cause the exception to occur.
public class DurationExtended : Duration
{ }

Answer 2

is_value是可判定的，

Lemma is_value_dec : forall t, {is_value t} + {~is_value t}.
Proof.
    induction t;
    try (left; constructor);
    destruct IHt1;
    right; intro C; inversion C.
Qed.

所以你可以通过考虑这两种情况（normal_form_implies_value）来证明destruct，如下：

Lemma normal_form_implies_value : forall t, normal_form t -> is_value t.
Proof.
    induction t;
    try constructor;
    intros;
    destruct (is_value_dec t1), t1;
    apply False_ind;
    apply H;
    try (eexists; constructor; fail);
    try (inversion i; fail).
    contradict n;
    apply IHt1;
    intros [tt C];
    eauto using scomp.
Qed.

scomp是step的构造函数，使用此定义：

Inductive step : term -> term -> Prop :=
| strue:  forall t1 t2, step (ifthenelse true  t1 t2) t1
| sfalse: forall t1 t2, step (ifthenelse false t1 t2) t2
| scomp: forall t1 t1' t2 t3, step t1 t1' -> 
          step (ifthenelse t1 t2 t3) (ifthenelse t1' t2 t3).

coq中正规形式的定义

2 个答案: