我无法正式化以下形式的定义：定义一个整数，使某些属性成立。
我们说我正式确定了该属性的定义：
Definition IsGood (x : Z) : Prop := ...
现在我需要一个表格的定义：
Definition Good : Z := ...
假设我证明了具有该属性的整数并且是唯一的：
Lemma Lemma_GoodExistsUnique : exists! (x : Z), IsGood x.
是否可以使用Good和IsGood轻松定义Lemma_GoodExistsUnique？
因为属性是在整数上定义的，所以似乎不需要额外的公理。无论如何，我不知道如何添加像选择公理这样的东西可以帮助定义。
另外，我无法正式确定以下表格的定义（我怀疑这与我上面描述的问题有关，但请注明是否不是这种情况）：对于每个x，都存在y，这些y对于不同的x是不同的。例如，如何使用N定义IsGood个不同的良好整数：
Definition ThereAreNGoodIntegers (N : Z) (IsGood : Z -> Prop) := ...?
在现实世界的数学中，像这样的定义时不时出现，所以如果Coq适合于实用数学，这应该不难形式化。
答案 0 :(得分：7)
对你的第一个问题的简短回答是：一般来说，这是不可能的，但在你的特定情况下，是的。
在Coq的理论中，命题（即Prop s）及其证明具有非常特殊的地位。特别是，通常不可能编写提取存在证据的证人的选择运算符。这样做是为了使理论与某些公理和原则相容，例如证明不相关，即证明给定命题的所有证明彼此相等。如果您希望能够这样做，您需要将此选择运算符添加为理论的附加公理，如standard library。
然而，在某些特定情况下， 可以从抽象存在证据中提取证人，而不会再出现任何其他公理。特别是，当有问题的属性是可判定的时，可以对可数类型（例如Z）执行此操作。例如，您可以使用Ssreflect库中的choiceType接口来准确获取所需内容（查找xchoose函数）。
话虽这么说，我通常建议反对以这种方式做事，因为这会导致不必要的复杂性。直接定义Good可能更容易，而不需要求助于存在证明，然后单独证明Good具有所寻求的属性。
Definition Good : Z := (* ... *)
Definition IsGood (z : Z) : Prop := (* ... *)
Lemma GoodIsGood : IsGood Good.
Proof. (* ... *) Qed.
Lemma GoodUnique : forall z : Z, IsGood z -> z = Good.
如果您绝对想要使用存在证明来定义Good，您还可以更改Lemma_GoodExistsUnique的证据，以便在Type而不是Prop中使用连词，因为它允许您使用proj1_sig函数直接提取见证：
Lemma Lemma_GoodExistsUnique : {z : Z | Good z /\ forall z', Good z' -> z' = z}.
Proof. (* ... *) Qed.
至于你的第二个问题，是的，它与第一点有点相关。我再次建议您写下一个y_from_x函数Z -> Z，它将计算给定y x，然后单独证明此函数与输入和输出相关以某种特定的方式。然后，您可以通过证明y是单射的来说，x对于不同的y_from_x是不同的。
另一方面，我不确定你的最后一个例子与第二个问题的关系。如果我理解你想要正确做什么，你可以写一些类似
的东西Definition ThereAreNGoodIntegers (N : Z) (IsGood : Z -> Prop) :=
exists zs : list Z,
Z.of_nat (length zs) = N
/\ NoDup zs
/\ Forall IsGood zs.
这里，Z.of_nat : nat -> Z是从自然到整数的规范注入，NoDup是一个断言，断言列表不包含重复元素，而Forall是更高的 - order谓词断言给定谓词（在这种情况下，IsGood）包含列表中所有元素。
作为最后一点，我建议不要使用Z来处理只能涉及自然数的事物。在您的示例中，您使用整数来讨论集合的基数，并且此数字始终是自然数。