生成立方贝塞尔椭圆弧的通用公式？

Question

如何在C中实现一个简单的方法来为给定起点和终点的椭圆弧生成2个缺失的控制点？我不需要花哨的误差估计，只需要点A和D，然后生成椭圆弧的控制点B和C，然后我可以使用三次贝塞尔插值算法生成曲线。

类似

void GetArcControlPoints(Point a, Point &b, Point &c, Point d)
{

.....
b = ...
c = ....
}

由于

Answer 1

你的问题背后的数学存在一些缺陷：

1. Bézier曲线是单位区间[0; 1]中参数t的多项式函数。椭圆是使用三角函数定义的，这些函数是超越的，因此不是代数，因此不是多项式。您不能使用Bézier曲线生成椭圆弧（既不是立方也不是任何度数n）。但是我们假设您只想近似椭圆弧。由于您没有指定近似值有多好，因此无法确保Bézier曲线对您来说是“椭圆形”。用较少的术语：您需要一个错误参数。

2. 无限椭圆弧穿过两个给定点。因此，这两个点给出不足够的信息来指定椭圆，其中的弧可以使用贝塞尔曲线近似。 更糟糕的是，由于你想要一个椭圆弧，而不是整个椭圆，你还必须指定弧所需要“覆盖”多少椭圆（百分比）（100％=整个椭圆） ，弧度（2 * pi =整个椭圆），等等。用更少的术语：你需要更多（输入）参数，只需指定 单个椭圆的单个弧。 / p>

在数学运算正确之前，您无法进入下一步（编码）。

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修改

1. 由于你需要一个完整的椭圆，我建议使用两个或四个Bézier补丁而不是一个Bézier曲线。

2. 您可以将椭圆视为在其中一个维度上“拉伸”的圆。现在，由于“拉伸”变换是线性的，Bézier函数在控制点上是线性的，因此您可以计算近似于90度圆弧的Bézier曲线的控制点，然后将“拉伸”变换应用于控制点，并且vo ，您可以得到近似于“90度”椭圆弧的贝塞尔曲线的控制点。获取整个椭圆只是重复该过程四次。

Answer 2

以下是单位圆弧段控制点的推导：

http://www.whizkidtech.redprince.net/bezier/circle/kappa/

可以通过应用适当的仿射变换生成每个可能的椭圆。

Answer 3

kappa公式只是一个近似值。这个是用4立方Bezier绘制圆或椭圆的一个很好的近似：它恰好匹配8个点（两个轴上和两个主要对角线上的那些，kappa公式中考虑的唯一点），但是存在差异在其他地方。

然而，即使我们不能使用这样的样条线来绘制带有贝塞尔曲线的圆或椭圆，也确实存在一个＆＃34;精确的＆＃34;基于Bresenham算法，使用仅算术运算逐个像素地逐渐绘制圆形近似（最多1个半像素的差异）（这样的近似是可能的，因为我们可以计算完全< / em>，仅使用加法，指向圆心的点的平方距离或到椭圆的两个焦点的距离之和，并检查像素是否为＆＃34;内部＆＃34;或＆＃34它的外部＆＃34;并且因为我们知道圆或椭圆上的起点的确切位置，所以我们可以测试两个可能的邻居中的哪一个，在8个扇区中的任何一个中，最接近于圆或椭圆）。

这种增量算法近似椭圆弧与贝塞尔样条曲线的增量算法完全不同，但它也非常有效（实际上甚至比绘制任意贝塞尔样条曲线时更快）。