逼近三次贝塞尔曲线的最佳方法是什么？理想情况下，我想要一个函数y（x），它可以给出任何给定x的精确y值，但是这将涉及为每个x值求解一个三次方程式，这对我的需求来说太慢了，并且可能存在数值稳定性问题以及这种方法。
this会成为一个好的解决方案吗？
答案 0 :(得分：5)
解决立方体问题。
如果你在谈论贝塞尔平面曲线，其中x（t）和y（t）是三次多项式，那么y（x）可能是未定义的或具有多个值。极端退化的情况是线x = 1.0，其可以表示为三次贝塞尔曲线（控制点2与端点1相同;控制点3与端点4相同）。在这种情况下，y（x）没有x！= 1.0的解，x == 1.0的无限解。
递归细分的方法可行，但我希望它比解决立方体慢得多。 （除非您正在使用某种具有异常差的浮点容量的嵌入式处理器。）
您应该可以轻松找到解决已经过彻底测试和调试的立方体的代码。如果使用递归细分实现自己的解决方案，则不会有这种优势。
最后，是的，可能存在数值稳定性问题，例如当您想要的点靠近切线时，但细分方法不会使这些问题消失。这只会使它们不那么明显。
编辑：回复您的评论，但我需要超过300个字符。
我只处理bezier曲线，其中y（x）只有一个（实际）根。关于数值稳定性，使用http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Summary中的公式，如果u非常小，可能会出现问题。 - jtxx000
wackypedia文章是没有代码的数学。我怀疑你可以找到一些更准备好在某处使用的食谱代码。也许Numerical Recipies或ACM收集了算法link text。
对于您的具体问题，并使用与文章相同的符号，当p也为零或接近零时，u仅为零或接近零。它们与等式相关：
u^^6 + q u^^3 == p^^3 /27
接近零，您可以使用近似值：
q u^^3 == p^^3 /27
或q {的p / 3u ==立方根
因此，来自u的x的计算应包含如下内容：
(fabs(u) >= somesmallvalue) ? (p / u / 3.0) : cuberoot (q)
“近”零如何附近？取决于您需要多少精确度。你可以花一些时间与Maple或Matlab一起研究在你的大小中引入了多少错误。当然，只有你知道你需要多少精确度。
本文给出了3个立方体根的3个公式。给定三个u值，您可以得到3个相应的x值。 u和x的3个值都是具有虚部的复数。如果你确定必须只有一个真正的解决方案，那么你期望其中一个根具有零虚构成分，而另外两个成为复共轭。看起来你必须计算所有三个，然后选择真实的一个。 （注意，复数u可以对应于实数x！）然而，还有另一个数值稳定性问题：浮点算法就是这样，真实解的虚部不会完全为零，而且虚部是虚部。非实根可以任意接近于零。因此，数字舍入会导致您选择错误的根。如果从您的应用程序中获得一些可以在那里申请的健全性检查，那将会很有帮助。
如果你确实选择了正确的根，那么Newton-Raphson的一次或多次迭代可以提高它的准确性。
答案 1 :(得分：2)
是的，de Casteljau算法适合您。但是，我不知道它是否比通过Cardano方法求解三次方程更快。