用最小长度的三个正方形覆盖n个点

Question

给定一组n分(a_1, b_1)，(a_2, b_2)，...，(a_n, b_n)。需要找到最小x，以便每个长度axis parallel的三个x正方形一起覆盖所有点。

我可以找到包含所有点的最小区域的矩形。这个矩形能以某种方式使用吗？或者有关如何解决这个问题的任何提示？

Answer 1

我认为，考虑两种情况就足够了：

1. 当每个方格触及最小区域矩形的某些边缘时。
2. 当两个正方形位于最小区域矩形的对角时，而第三个位于内部（不接触最小区域矩形的任何边缘）。

在第一种情况下，我们可以将一个正方形的角固定在4个矩形角的一个角上，然后将其他两个正方形的角固定在矩形的两个相对（到选定的角）边缘的某处（n每个点的可能位置，然后为每个点确定它所属的最佳平方和最小x。

在第二种情况下，尝试两对相对的矩形角，用于＆＃34;外部＆＃34;正方形，然后修复＆＃34;内部＆＃34;的一个角落。由所有n*n和x点坐标确定的所有y位置上的平方，然后为每个点确定其所属的最佳平方和最小x。

时间复杂度为O（n ³ ）。

Answer 2

@EvgenyKluev的答案似乎朝着正确的方向发展，但我想解决一些微妙之处。

由于我没有看到x为整数的限制，您可能希望在x上使用二进制搜索来指导您的算法，并在范围仍然时找到合适的终止条件可用于x的数量足够小（您也可以对整数x进行二分搜索，但是您不需要终止条件）。

在矩形的一个角落放置一个正方形（你必须做的事情，有点直接证明）会限制你的搜索空间以放置另外两个正方形：让A成为所涵盖的点集合角对齐的第一个方块，让S成为所有点的集合。取S-A并找到该组点的包围矩形。将剩下的两个正方形放置在S-A的封闭矩形的相对角上将始终是一个解决方案（只有一对相对的角可能适合），如果存在的话。

因此，一个算法可以 - 非常高的水平 - 像这样

binary search for x on [0,N]:
    find R(S), the enclosing rectangle of S
    for each corner C of R(S):
        align one square at C, let the points covered by that square be A
        find R(S-A)
        do two squares aligned at opposite corners of R(S-A) cover S-A?

对于二分搜索，我真的不能说会收敛到只允许一个正方形对齐的范围有多快，此时你可以直接计算值x - 我期待任意精度，你可以任意不好。每次迭代都需要O（n log n）来对两个基本方向上的点进行排序。