用最少的nos覆盖N组连续的整数

Question

我们给出了N组连续的整数。每个这样的集合由两个数字定义。例：2,5表示含有2,3,4,5的集合。我们必须打印最小数量。要选择的数字以覆盖所有N组。一个人据说如果它包含在集合中则覆盖集合。 例如：给定集[2,5]，[3,4]，[10,100]。我们可以选择例如{3,10}，所以我们掩盖了所有3套。因此答案是2。

我无法为N <= 5000找到合适的算法。

Answer 1

这是解决问题的O(nlogn)方法：

1. 按最后一个元素对集合进行排序（例如，您的示例将排序为[3,4], [2,5] , [10,100]）。
2. 选择第一个间隔的结束
3. 删除所有相交的集合
4. 如果有一些未覆盖的设置，请返回2.

示例（基于您的示例）：

1. 排序 - 您的集合列表按l =[3,4], [2,5] , [10,100]
排序
2. 选择4
3. 删除已涵盖的集合，您现在拥有l=[10,100]
4. 返回2 - 选择100
5. 从列表l=[]
中删除最后一个条目
6. 达到了停止条款，你完成了两点：4,100。

@j_random_hacker的正确性证明（指南）：

  

第一个（排序后）范围[i，j]中的一些元素必须是   包括在答案中，或该范围不包括在内。它的   最右边的元素j至少覆盖与任何一组相同的范围   [i，j]中的其他元素。为什么？假设有相反的情况   一些元素k＆lt; j涵盖了j未涵盖的范围：那么   该范围必须具有端点＆lt; j，这与事实相矛盾   [i，j]具有最小的端点（我们知道这是因为它是第一个   在排序列表中）

Answer 2

请注意以下是无法运行的贪婪算法（请参阅注释）。我将它留在这里，万一它可以帮助别人。

我会使用递归算法来解决这个问题。首先，请注意，如果这些集合是不相交的，那么您需要＆＃34; n＆＃34;数字。第二，＆＃34;覆盖＆＃34;点可以是集合的末尾，因此这是减少的选项数量。

您可以通过此方式迭代/递归。以下是该算法的高级草图：

一个迭代步骤是：

• 从所有集合中提取端点
• 计算每个端点涵盖的集合数
• 选择覆盖范围最大的端点

如果最大覆盖范围为1，则从每组中选择一个任意点。

否则，请选择覆盖范围最大的端点。如果有最大关系，任意选择一个。当有关系时，我不相信它会有所作为。

删除端点覆盖的所有集合，并将端点添加到＆＃34;覆盖点＆＃34;。

重复此过程，直到没有剩下任何设置或最大覆盖范围为1.