Answer 1

到目前为止，答案给出了线性规划的代数定义和操作定义。但也有一个几何定义。 多面体是多边形（二维）或多面体（三维）的n维泛化。 凸多面体是多面体，也是凸集。根据定义，线性编程是一个优化问题，您希望在凸形多面体上最大化或最小化线性函数。

例如：假设您想购买一些红沙和蓝沙的组合。假设：

1. 你不能买任何一种负数。
2. 该仓库只有300磅的红沙和400磅的蓝沙。
3. 此外，您的吉普车的重量限制为500磅。

如果你在平面上绘制一幅图片，你可以用这些约束购买多少，它就是一个凸五边形。然后，无论你想要优化什么（比如，沙子中的金总量），你都可以知道最佳（不一定是唯一的最佳）是在多面体的一个顶点处。事实上，有一个更强大的结果：即使在高维度上，任何这样的线性规划问题都可以在多项式时间，约束的数量或多面体的假定边中求解。请注意，并非每个约束都对应于一侧。如果约束是相等的，则可能会减少多面体的维度。或者，如果约束是不等式，如果它已经被所有其他约束暗示，那么它可能不会创建一个边。

有很多实际的优化问题是线性编程。其中一个例子是“饮食问题”：给出一系列食物的菜单，最便宜的均衡饮食是什么？这是一个线性规划问题，因为成本是线性的，并且因为所有的约束（维生素，卡路里，你不能购买负面食物的假设等）是线性的。

但是，从理论上讲，线性规划更为重要。它是用于优化或用于任何其他目的的最强大的多项式时间算法之一。因此，作为近似解决其他优化问题的替代品，以及作为精确求解它们的子程序，它是非常重要的。

是的，两个概括是凸编程和整数编程。通过一些限定，凸面编程可以像线性编程一样工作，只要目标（最大化的东西）是线性的。事实证明，凸性而非平坦的边是线性规划具有良好算法的主要原因。

另一方面，整数编程通常很难。例如，假设在示例问题中，您必须购买固定尺寸的袋子而不是散装的沙子;那就是整数编程。有一个定理它可以是NP难的。它在实践中的难度取决于线性编程的接近程度。有一些着名的整数规划问题的例子，奇迹般地，线性程序的所有顶点都是整数点。然后你可以解决线性程序，解决方案将成为不可或缺的。这种问题的一个例子是婚姻问题，如何将n男人和n女人相互结婚以最大化总幸福感。 （或者，n个城市到n个工厂，n个工作者到n个申请人，n个计算机到n个打印机等）

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