Question

我们说我的轮廓形状由两个函数x(p)和y(p)定义，其中p是沿着形状周长行进的距离，在{之间标准化{1}}和0。例如，关于原点的单位圆将定义为1和x(p) = sin(2 * pi * p)。

确定点是否在该圆内的简单测试是计算点与原点的距离，然后检测该距离是否小于或等于y(p) = cos(2 * pi * p)。

但是，如果我的形状有多个交叉点，并且比圆形更复杂呢？

对由一组点定义的离散形状进行point in polygon测试。该算法非常容易找到，因为它在很多地方使用过。但是，如果我不想使用我的形状的离散定义，我可以使用什么算法来确定绕组数，假设形状是在编译时定义的？

Answer 1

如果您知道形状内部（或外部）的点并且形状是平滑且不相交的，则可以将已知点连接到任何其他点并计算它穿过边界的次数。偶数次意味着未知点在内部（或外部）类似。奇数意味着相反的情况。

这是基于Jordan Curve定理。我记得，定理证明需要匝数，但应用非常简单。

Answer 2

如何计算闭合曲线的总曲率（假设它在任何地方都是可微的），然后除以2PI？请参阅Wiki的Total Curvature页面here。

Answer 3

在多边形测试中推广点，您可以找到y(p)=0的所有解x(p)>0，并使用其数字的奇偶校验。

如果是圆圈，则cos(2πp)=0为p=(k+1/2)π，p范围内[0,1)只有一个值sin(2πp)>0。

如果你可以解析地解决y方程那么好。否则你需要一个可靠的数值求解器，能够发现所有根。另一种方法是展平曲线（将其绘制为折线，确保最大偏差容差），并应用多边形算法。

为了第二个例子，让我们考虑Pascal的limaçon与等式r = 0.5 + cos Θ，以及一些测试点X。

y = (0.5 + cos Θ) sin Θ = 0

代表Θ=0，2π/3，π，4π/3。相应的横坐标为1.5，0，0.5和0。

您可以得出结论，X轴上的内部点位于0.5和1.5之间（也在0处，以简并的方式）。