Question

给定由xy平面中的位置列表描述的路径P，每个位置由边连接，计算必须从P移除的边的最小数量，使得P不会关闭xy中的任何区域平面（即，应该可以从任何点到任何其他点）。每个位置都有整数坐标，每个位置将是前一个位置左，右，上或下的一个单位。

例如，如果P = {[0,0], [0,1], [1,1], [1,0], [0,0]}，那么路径是一个正方形，从（0,0）开始。方形的4个边缘中的任何一个都可以被移除，因此答案是1。

请注意，可以绘制两次相同的边。也就是说，如果P = {[0,0], [0,1], [1,1], [1,0], [0,0], [0,1], [1,1], [1,0], [0,0]}，则答案为2，因为现在正方形的每一边都有2条边，因此必须至少删除2条边以“释放”正方形。

我尝试过一种天真的方法，如果任何位置被访问两次，可能会有一个封闭的区域（并非总是如此，但我的程序依赖于这个假设），所以我将1添加到删除的最小边数。通常，如果访问顶点N次，我将N-1添加到删除的边数。但是，例如，如果P = {[0,0], [0,1], [0,0]}，则没有封闭区域，而我的程序会认为存在。它崩溃的另一种情况：如果P = {[0,0], [0,1], [1,1], [1,0], [0,0], [1,0]}，我的程序将输出2（因为（0,0）和（0,1）每次访问两次），而正确的答案是1，因为我们可以移除广场的其他三面。

似乎有两个主要的子任务来解决这个问题：首先，给定路径，找出哪些位置是封闭的（即，弄清楚路径将图分割成的区域）;第二，利用这些区域的知识来确定必须去除哪些边缘以防止封闭。

任何提示，伪代码或代码都将受到赞赏。

来源：普林斯顿大学高级本科生课程。

Answer 1

以下是一些可能有用的想法。我假设你有n分。

您可以先在集S中插入所有边，以便删除重复的边：

for(int i = 0; i < n-1; i++)
    S.insert( {min(p[i], p[i+1), max(p[i], p[i+1])} );

现在再次迭代边缘并构建图形。然后在此图中找到最长的简单路径。

结果图是二分的（如果存在一个循环，它必须具有偶数长度）。这条信息也可能有所帮助。

Answer 2

您可以使用泛光填充算法查找路径创建的平面的连续区域。其中一个区域是无限的，但很容易通过扫描线扫描来计算周长，这将限制总大小不会比路径长度的二次方差更差。如果路径长度小于1,000，则可以接受二次方。（编辑：我后来意识到，由于只需要识别与线边缘相邻的区域，您可以通过对线段进行排序然后应用扫描线扫描来进行此计算，从而产生O（ n log n）时间复杂度。）

路径中的每条边都在两个区域之间（或者是无关紧要的，因为两边的方块都是相同的区域）。对于相关边，您可以计算重复次数，然后找到任意一对相邻区域之间的最小成本边界。一旦确定了每个方格的区域ID，所有这些都是线性的。

现在你有一个加权图。构造最小生成树。这应该是需要移除的最小边缘集合。

可能有一个更聪明的解决方案。洪水填充让我感到蛮力和天真，但这是我在十分钟内能做到的最好的事情。

祝你好运。

路径创建的封闭区域数

2 个答案: