使用linalg找到特征向量

Question

我使用numpy的linalg.eig来找到特征值和矩阵向量。 下面的矩阵有一个形式为（t，0）的特征向量。但是python给了我不同的结果：

>>> a = np.matrix('2. 0. ; 1. 2.')
>>> print np.linalg.eig(a)
(array([ 2.,  2.]), matrix([[  0.00000000e+00,   4.44089210e-16],
        [  1.00000000e+00,  -1.00000000e+00]]))

有什么问题？

Answer 1

我们会期待什么？

首先，(t, 0)不是输入矩阵的特征向量：

   | 2.  0.| x |t|  ==> [2t, t]
   | 1.  2.|   |0|

与之对比：

   | 2.  0.| x |0|  ==> [0, 2t] == 2 * [0, t]
   | 1.  2.|   |t|

好的，val = 2，vec = [0, 1]会有意义，就像它的乘数一样。

舍入错误

接下来，请记住eig使用迭代近似解决方案，因为对于> 3x3输入，特征向量的分析解决方案是不可能的。因此，您可以忽略这样一个事实，即您的特征向量中的一个值并非完全为零。

您的输出基本上是：

eigs = [2, 2]
vecs = [[0,  0],
        [1, -1]]

请注意，eig的各个特征向量位于列中，而不是行中。换句话说，我们得到2的两个相同的特征值和[0, 1]和[0, -1]的两个特征向量。

只能有一个！

正如@WarrenWeckesser指出的那样，这是一个defective matrix，尽管是2x2，它只有一个特征向量。

因此，从数学上讲，我们期望val = 2，vec = [0, 1]。相反，我们还会得到另一对：val = 2，vec = [0, -1]。

所以我们期待一个特征向量并得到两个...这甚至可能吗？

等等，我们有两件相同的东西！？

作为一个完整性检查，请注意[0, -1]也将是您的2x2输入的特征向量：

   | 2.  0.| x | 0|  ==> [0, -2t] == 2 * [0, -1]
   | 1.  2.|   |-t|

当然，这相当于val = -2，vec = [0, 1]，所以它是相同的特征向量。

那么为什么numpy.linalg.eig给出两个具有相同特征值2的输出特征向量[0, -1]和[0, 1]？他们是一回事！

简而言之，np.linalg.eig矩阵的MxM保证始终返回M特征值和向量。

然而，我们可以做得更好一些。如果这是唯一的规则，它可以找到一个，然后返回它的各种倍数。

eig如何选择要返回的特征向量/值？

通常，对于任何给定矩阵，存在无限数量的特征向量，但它们都具有A * x = lambda * x的关系。

因此，要让程序提供有用的输出，我们需要设置一些限制。否则，它将需要返回无数个不同但非常相似的结果。

关键是如何定义np.linalg.eig的输出：

1. 输出特征向量的数量等于输入的大小（即3或3x3，4x4等4）。
2. 特征向量将具有单位长度。
3. 如果可能，输出特征向量将是正交的
4. 如果没有适当数量的正交特征向量，则线性相关特征向量的特征值将是相同的。

遵守规则

好的，所以我们要获得2个特征值和两个特征向量作为输入是2x2，并且如果可能的话我们将得到正交的特征向量。此外，特征向量将具有单位长度，限制我们得到的特征值。

然而，在这种情况下，没有两个独立的特征向量。

我们所看到的是上面的第四条规则。文档说明：

  

特征向量的数组v可能不是最大等级，即一些   尽管可能是舍入误差，但列的线性可能是线性相关的   掩盖了这个事实。如果特征值都不同，那么   从理论上讲，特征向量是线性无关的。

我们知道可以保证产生2个特征向量。从上面的文字我们可以推断，如果它们实际上是相同的向量，这将通过使特征值相同来表示。

所以在这种情况下，我们有一个2x2矩阵，其中一个特征值/向量为2和[0, 1]：

如果特征值必须相同且特征向量的单位长度必须为1，则唯一的其他有效组合为val = 2，vec=[0, -1]。