Question

我有一个矩阵，例如这个例子（我的实际矩阵可以大得多）

A = [-1 -2   -0.5;
      0  0.5  0;
      0  0   -1];

只有两个线性无关的特征值（重复特征值-1）。我希望通过generalized eigenvectors获得完整的基础。我知道如何做到这一点的一种方法是使用符号数学工具箱中的Matlab jordan函数，但我更喜欢为数字输入设计的东西（实际上，有两个输出，{{1} }对于大型矩阵失败：＆＃34; MuPAD命令出错：相似性矩阵太大。＆＃34;）。我不需要Jordan规范形式，这在数值上下文中是非常不稳定的，只是一个广义特征向量的矩阵。是否有函数或函数组合以数字稳定的方式自动执行此操作，或者必须使用the generic manual method（这样的过程有多稳定）？

注意：通过＆＃34;广义特征向量，＆＃34;我的意思是非零向量，可用于增加所谓的defective matrix的不完整基础。我并不是指使用jordan或eig解决generalized eigenvalue problem得到的特征值所对应的特征向量（虽然后一种用法很常见，但我会说＃＆} 39;最好避免）。除非有人能纠正我，否则我不相信这两者是一样的。

更新1 - 五个月后：

参见my answer here，了解如何为大于82×82的矩阵（本问题中我的测试矩阵的极限）符号化地获得广义特征向量。

我仍然对数字方案感兴趣（或者如果这些方案与计算Jordan形式有关，那么这些方案可能会如何不稳定）。我不希望盲目地实施已被标记为此问题的副本的线性代数101方法，因为它不是数值算法，而是用于评估学生的铅笔和纸张方法（I假设它可以象征性地实现但是）。如果有人能指出我对该方案的实施或对其进行数值分析，我对此感兴趣。

更新2 - 2015年2月：在R2014b测试中，所有上述内容仍然如此。

Answer 1

正如我的评论中所提到的，如果您的矩阵存在缺陷，但您知道哪个特征向量/特征值对在考虑到容差时要考虑相同，则可以按照以下示例进行操作：

% example matrix A:
A = [1 0 0 0 0; 
     3 1 0 0 0; 
     6 3 2 0 0; 
     10 6 3 2 0;
     15 10 6 3 2]
% Produce eigenvalues and eigenvectors (not generalized ones)
[vecs,vals] = eig(A)

这应输出：

vecs =

     0         0         0         0    0.0000
     0         0         0    0.2236   -0.2236
     0         0    0.0000   -0.6708    0.6708
     0    0.0000   -0.0000    0.6708   -0.6708
1.0000   -1.0000    1.0000   -0.2236    0.2236


vals =

 2     0     0     0     0
 0     2     0     0     0
 0     0     2     0     0
 0     0     0     1     0
 0     0     0     0     1

我们看到前三个特征向量几乎与工作精度相同，最后两个特征向量也是如此。在这里，您必须知道问题的结构并识别相同特征值的相同特征向量。这里，特征值完全相同，因此我们知道要考虑哪些，我们将假设相应的矢量1-2-3是相同的，矢量4-5。（在实践中，您可能会检查特征向量差异的标准并将其与您的容差进行比较）

现在我们继续计算广义特征向量，但这很难用matlab的\来解决，因为显然(A - lambda*I)不是满秩。所以我们使用pseudoinverses：

genvec21 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*vecs(:,1);
genvec22 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*genvec21;
genvec1 = pinv(A - vals(4,4)*eye(size(A)))*vecs(:,4);

应该给出：

这是我们的其他广义特征向量。如果我们现在检查这些以获得这样的jordan normal形式：

jordanJ = [vecs(:,1) genvec21 genvec22 vecs(:,4) genvec1];
jordanJ^-1*A*jordanJ

我们获得：

ans =

2.0000    1.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000
     0    2.0000    1.0000   -0.0000   -0.0000
     0    0.0000    2.0000    0.0000   -0.0000
     0    0.0000    0.0000    1.0000    1.0000
     0    0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

这是我们的Jordan正常形式（有工作精度误差）。

在Matlab中以数字方式寻找广义特征向量

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