Matlab如何规范化广义特征向量？

Question

我知道eig（A）产生的特征向量具有2范数1。但是，广义特征值问题eig（A，B）中产生的向量又如何呢？一个自然的推测是，这样的向量v应该满足v' B v = 1。当B是单位矩阵时，则v' B v恰好是2范数的平方。我对各种矩阵A和B进行了以下测试：

[p,d]=eig(A,B);
v=p(:,1);
v'*B*v

我总是选择B为对角线。我注意到v' B v并不总是1。但是，当A是对称的时，确实为1。有人知道Matlab归一化广义特征向量的方式的规则吗？我在文档中找不到。

Answer 1

根据the documentation（强调我）：

  

V的形式和规格化取决于输入参数的组合：

     

  

• [...]

  

• [V,D] = eig(A,B)和[V,D] = eig(A,B,algorithm)返回V作为矩阵，其列是满足A*V = B*V*D的广义右特征向量。 每个特征向量的2范数不一定是1 。在这种情况下，D包含沿主对角线的（A，B）对的广义特征值。

       

  当eig将'chol'算法用于对称（埃尔米特）A和对称（埃尔米特）正定B时，它将对{{ 1}}，因此每个V的范数均为1 。

  

这意味着，除非您使用B算法，否则'chol'不会被标准化。

Answer 2

如果我正确地理解了您，您正在寻找一种推广向量的方法，然后给定向量，您可以将其除以其范数以获得范数为1的第二向量。

如果您正在寻找数学背景，那么Eigendecomposition of a matrix会提供很好的介绍。