比较分段函数的增长

Question

我正在通过CLRS来加强我的理论技能。它花了一些时间讨论如何比较两种不同的增长函数，但我想出了一个我无法解决的例子。

如果n为奇数，则g1（n）= n; n ² 如果n是偶数

如果n为奇数，则让g2（n）= n ² ; n如果n是偶数

就长期增长而言，g1和g2如何相关？我想说g1 =θ（g2），但我不知道如何展示（证明）它。

Answer 1

很明显：

• g1（n）和g2（n）都具有O的最紧密上限（n ² ），因此它们都可以写为O（n ^2功能）。

• g1（n）和g2（n）都具有最紧密的O（n）下界，因此它们都可以写成Ω（n）。

函数g1（n）和g2（n）以这样的方式写入，即它们具有不同的上限和下限。这意味着没有函数g（n）：

1. 要么c11*g(n) < g1(n) < c12*g(n)成立;
2. 或，c21*g(n) < g2(n) < c22*g(n)成立。

因为对于n的任何函数，g1（n）和g2（n）都不能表示为θ（g（n）），因此 g1（n）不能是θ（g2（n））反之亦然