Question

我在尝试计算此代码的时间复杂度时遇到了一些问题：

HKCorrelationType

据我所知：

function foo (int a):
    if a < 1: 
        return 1
    else:
        for i = 1 to 4:
            foo(a - 3)
        for i = 1 to 4:
            foo(a / 2)
end function

现在，它非常复杂，因为下一个T的数量增加了2 ^ n，而且孩子也很复杂。

还有其他方法可以解决这个问题吗？

Answer 1

让我们扩展递归成本函数：

T(n) = 4   [T(n-3) + T(n/2)]
T(n) = 4^2 [T(n-6) + T((n-3)/2) + T((n-6)/2) + T(n/4)]
T(n) = 4^n [T(n-9) + 2*T((n-6)/2) + T((n-9)/2) + T((n-12)/4) + T((n-3)/4) + T((n-6)/4) + T(n/8)]

从x中的T(x)降至1以下的那一刻起，您应将T(x)替换为1。从那一刻开始，T(x)并没有产生任何＆＃34;孩子＆＃34;不用说了。

这意味着什么？这意味着在k扩展T(n)之后，该函数将如下所示：

T(n) = 4^k [number of paths with length `k`]

并继续增加k，直到所有路径都已经死亡＆＃34;。在n/3次迭代之后，情况确实如此，因为这是最长的路径。

因此我们有某种图表，例如n=9：

9 + 6 + 3 + 0
  |   |   ` 1
  |    `3 + 0
  |       ` 1
   `4 + 1
      ` 2 + -1
         `  1

所以6路径。现在的问题是如何计算路径数量。为此，我们首先将主要路径表示为： n ， n-3 ， n-6 等作为水平线节点，这绝对是最长的路径：

n    n-3  n-6  n-9  ...  1

现在，在所有这些节点中，确实发起了i - ＆gt;节点。 i / 2（除了一个）

n    n-3      n-6      n-9     ...   4   1
|     |        |         |
n/2  (n-3)/2  (n-6)/2  (n-9)/2 ...   2

（第二行显示除以2创建的所有节点）。现在这些节点再次生成n - ＆gt; n-3，因为它除以2 n / 2 - > （n-6）/ 2，换句话说，有两条跳跃的边缘：

n    n-3      n-6      n-9     ...   4   1
|     |  /-----+-------(n-9)/2       |
n/2  (n-3)/2  (n-6)/2  (n-9)/2 ...   2
  \---------->(n-6)/2 \------->...

换句话说，除前两个元素外，第二行中的所有其他节点都计为两个。如果我们将它表示为某种图形，其节点标有其权重，则看起来像：

   1 -- 1 -- 1 -- 1 -- 1 -- .. -- .. -- 1
   |    |    |    |    |    |     |
   1 -- 1 -- 2 -- 2 -- 2 -- .. -- 2

或者，如果我们继续为此过程执行此操作：

   1 -- 1 -- 1 -- 1 -- 1 -- .. -- .. -- .. -- .. -- ..-- 1
   |    |    |    |    |    |     |     |     |     |
   1 -- 1 -- 2 -- 2 -- 2 -- .. -- .. -- .. -- .. -- 2
   |    |    |    |    |    |     |     |
   1 -- 1 -- 2 -- 2 -- 3 -- .. -- .. -- 4

（第三行进一步生成4个项目）

现在我们需要计算最后一行的总和。这最多只是O(log n)。

因此导致最大O(4^(n/3)*log n)的上限。绝对有可能边界更紧，或4 ^（n / 3 + epsilon），log在指向指数时并不重要。

<强>实验

可以将程序转换为计算成本的程序（使用Python）：

def memodict(f):
    """ Memoization decorator for a function taking a single argument """
    class memodict(dict):
        def __missing__(self, key):
            ret = self[key] = f(key)
            return ret
    return memodict().__getitem__

@memodict
def foo (a):
  if a < 1:
    return 1
  else:
    return 1+4*(foo(a-3)+foo(a//2))

for i in range(1000) :
    print '{0} {1}'.format(i,foo(i))

请注意1+（这是因为调用不在叶子上的方法也需要计算成本）。

它显示以下图表（日志空间中的 y 轴）：

如果仔细观察，看起来好像log n是更好的估计。虽然我不知道这样说是否安全。

这会产生一个表格（下面，进一步计算到2'000）。

1 9
2 41
3 41
4 201
5 329
6 329
7 969
8 2121
9 2121
10 5193
11 9801
12 9801
13 22089
14 43081
15 43081
16 96841
17 180809
18 180809
19 395849
20 744009
21 744009
22 1622601
23 3015241
24 3015241
25 6529609
26 12149321
27 12149321
28 26290761
29 48769609
30 48769609
31 105335369
32 195465801
33 195465801
34 422064713
35 782586441
36 782586441
37 1688982089
38 3131929161
39 3131929161
40 6758904393
41 12530692681
42 12530692681
43 27038593609
44 50129261129
45 50129261129
46 108166435401
47 200529105481
48 200529105481
49 432677802569
50 802142540361
51 802142540361
52 1730759807561
53 3208618758729
54 3208618758729
55 6923087827529
56 12834580197961
57 12834580197961
58 27692546388553
59 51338515870281
60 51338515870281
61 110770380632649
62 205354484822601
63 205354484822601
64 443082304393801
65 821418721153609
66 821418721153609
67 1772329999438409
68 3285676572873289
69 3285676572873289
70 7089323128099401
71 13142709421838921
72 13142709421838921
73 28357295642743369
74 52570844443284041
75 52570844443284041
76 113429195098690121
77 210283390300852809
78 210283390300852809
79 453716792922477129
80 841133588239028809
81 841133588239028809
82 1814867221812679241
83 3364534403078885961
84 3364534403078885961
85 7259468937373487689
86 13458137720469918281
87 13458137720469918281
88 29037875950010995273
89 53832551082396717641
90 53832551082396717641
91 116151504000561025609
92 215330204762252612169
93 215330204762252612169
94 464606016804360524361
95 861320819851126870601
96 861320819851126870601
97 1858424068019558519369
98 3445283281135218692681
99 3445283281135218692681
100 7433696275286804238921
101 13781133127749444932169
102 13781133127749444932169
103 29734785104355787117129
104 55124532517920818958921
105 55124532517920818958921
106 118939140430257623503433
107 220498130084517750870601
108 220498130084517750870601
109 475756561733864969048649
110 881992520365763354792521
111 881992520365763354792521
112 1903026246986798196986441
113 3527970081514391739961929
114 3527970081514391739961929
115 7612104987998531108737609
116 14111880326168337145401929
117 14111880326168337145401929
118 30448419952199478498431561
119 56447521304878702645088841
120 56447521304878702645088841
121 121793679809003268057207369
122 225790085219957892102885961
123 225790085219957892102885961
124 487174719236834490168119881
125 903160340880652986350834249
126 903160340880652986350834249
127 1948698876948159378611769929
128 3612641363524384274620912201
129 3612641363524384274620912201
130 7794795507795923189331694153
131 14450565454100822773368263241
132 14450565454100822773368263241
133 31179182031186978432211391049
134 57802261816410380413470806601
135 57802261816410380413470806601
136 124716728124761056435137057353
137 231209047265654664360174719561
138 231209047265654664360174719561
139 498866912499057368446839722569
140 924836189062647014733211275849
141 924836189062647014733211275849
142 1995467649996282044625046245961
143 3699344756250640629770532459081
144 3699344756250640629770532459081
145 7981870599985180749337872339529
146 14797379025002675948264700809801
147 14797379025002675948264700809801
148 31927482399940933280729262494281
149 59189516100010914076436576375369
150 59189516100010914076436576375369
151 127709929599763943406294823113289
152 236758064400044110022526700261961
153 236758064400044110022526700261961
154 510839718399056614758740495864393
155 947032257600177281223668004459081
156 947032257600177281223668004459081
157 2043358873596227300168523186868809
158 3788129030400710939761843707744841
159 3788129030400710939761843707744841
160 8173435494384912565208445703590473
161 15152516121602847123581727787094601
162 15152516121602847123581727787094601
163 32693741977539653625368135770477129
164 60610064486411395753795798399095369
165 60610064486411395753795798399095369
166 130774967910158627959610155397452361
167 242440257945645596473320805911925321
168 242440257945645596473320805911925321
169 523099871640634525296578233905353289
170 969761031782582414931158973141652041
171 969761031782582414931158973141652041
172 2092399486562538155018863817501086281
173 3879044127130329713557186774446281289
174 3879044127130329713557186774446281289
175 8369597946250152673908006151884018249
176 15516176508521318970380250897829106249
177 15516176508521318970380250897829106249
178 33478391785000610910962228937122943561
179 62064706034085276096851207920903295561
180 62064706034085276096851207920903295561
181 133913567140002443859179120078078644809
182 248258824136341104852010847685857284681
183 248258824136341104852010847685857284681
184 535654268560009776298037299361325027913
185 993035296545364420269364209792439587401
186 993035296545364420269364209792439587401
187 2142617074240039106053470016494310560329
188 3972141186181457682935880906387200447049
189 3972141186181457682935880906387200447049
190 8570468296960156427659163345381749723721
191 15888564744725830735188806904953309270601
192 15888564744725830735188806904953309270601
193 34281873187840625714081936660931506377289
194 63554258978903322948188923891891471159881
195 63554258978903322948188923891891471159881
196 137127492751362502870108879768266900279881
197 254217035915613291806536828692106759410249
198 254217035915613291806536828692106759410249
199 548509971005450011494216652197608475890249
200 1016868143662453167255882099869574254596681

Answer 2

（重写以提供更好的答案。）

这是一个简单而严谨的分析，显示为什么T(n) ~ 4^{n/3}是一个严格的估计。

我们有复发

T(n) = 4T(n-3) + 4T(n/2)

为了获得紧凑的结果，我们希望T(n/2)与T(n-3)相比可以忽略不计。我们可以这样做。

首先，T对所有n都是非负的，特别是T(n/2) >= 0，所以对于所有n我们都有不等式，

T(n) >= 4T(n-3)

现在，我们希望使用该不等式来比较T(n-3)和T(n/2)。通过应用那些n/6 - 1次，我们得到了

T(n-3) >= 4^{n/6 - 1} * T(n/2)

（因为，(n/6 - 1) * 3 = n/2 - 3和n/2 - 3 + n/2 = n - 3）。

这意味着T(n/2)与T(n-3)相比较小：

T(n/2) <= 4^{-n/6 + 1} * T(n-3)

现在，对于任何epsilon > 0，n_0都有n > n_0，4^{-n/6 + 1} < epsilon。（因为4^{-n/6 + 1}的限制为零，因为n变大。）

这意味着对于任何epsilon > 0，都有足够大的n以便

4T(n-3) <= T(n) <= (4 + epsilon) T(n-3)

这会产生紧束T(n) = 4^(n/3 + o(n))。

获得更清晰的估计

在评论中有一些关于摆脱上述o(n)的问题，以获得更加清晰的估计。

我担心这基本上只会变得迂腐 - 通常没有人会关心低阶条款，而确切地说它们只是一些微积分工作。但是我们今天可以多做一点。

有什么区别

首先，O(4^{n/3})和4^{n/3 + o(n)}之间的区别是什么？（或者，我们可以将后者写成(4+o(1))^{n/3}。）

不同之处在于他们控制低阶条款的严密程度。 O(4^{n/3})非常严格地控制它们 - 它表示你不超过（具体）值4^{n/3})超过常数因子。

4^{n/3 + o(n)}，允许您超过4^{n/3}超过常数因子。但是这个因素在n中是次指数的，与4^{n/3}相比可以忽略不计。

例如，考虑函数f(n) = n * 4^{n/3}。此功能不是O(4^{n/3})。实际上，它超过了因子n，超过了常数因子。

但是，f(n)位于班级4^{n/3 + o(n)}中。为什么？因为每个n = O(4^{epsilon n})都会epsilon > 0。

当你有不平等时，

4T(n-3) <= T(n) <= (4 + epsilon) T(n-3)

对于每个epsilon > 0，您只能从此T(n) = (4 + o(1))^{n/3}中推断出来。

为了获得更清晰的界限，我们需要将epsilon视为n的函数而不是常量（就像我在lazier版本中所做的那样。）

证明

让epsilon(n) = 4^{-n/6 + 1}在下面的内容中。然后我们已经展示了

T(n) <= (4 + epsilon(n)) T(n-3)

我们希望看到T = O(4^{n/3})。

这可以作为迭代产品进行扩展：

T(n) = PI_{i=1}^{n/3} (4 + epsilon(3i))

我们可以将每个术语考虑因素并取出因子4来获得

T(n) = 4^{n/3} * PI_{i=1}^{n/3} (1 + epsilon(3i)/4 )

现在的目标是展示

PI_{i=1}^{n/3} (1 + epsilon(3i)/4 ) = O(1)

然后我们将完成。

要执行此操作，我们会记录日志，并显示O(1)。

SUM_{i=1}^{n/3} log(1 + epsilon(3i/4))

我们将log(1+x) <= x用于x >= 0。

SUM_{i=1}^{n/3} epsilon(3i/4)

现在我们使用epsilon的定义。实际上，我们只需要知道某些epsilon(n) <= C^{-n} C > 1。以上变为

SUM_{i=1}^{n/3} C'^{-i}

表示常量C' > 1。但这是一个几何系列，因此它被无限几何系列界定为

1 / (1 - 1/C') = O(1)

因此T(n) = O(4^{n/3})。由于我们已经有T(n) = Omega(4^{n/3})，我们现在已将它紧紧到常量T(n) = Θ(4^{n/3})

你可以自己决定这项额外工作是否使事情变得更加明确：p我个人更喜欢将o(n)放在那里。

Answer 3

IMO，时间复杂度为Θ(r^n)，其中r=³√4。

确实，在递归关系中插入此表达式

r^n = 1 + 4 r^n / r³ + 4 r^(n/2) = 1 + r^n + 4 √(r^n),

第二个词渐渐占优势。

以下是foo总呼叫的确切分数，除以r^n以便于阅读。我们在[n/2]中假设了f(n/2)。

比率倾向于重复序列46.6922952502，63.4656065932 74.1193985991。这似乎证实Θ(r^n)。

<强>更新：

通过归纳，我们可以显示n >= 21，

T(n) < B(n) = 75.(s^(2n) - 4.s^n),

s=³√2。

实际上，通过递归方程和归纳假设，

T(n+3) = 1 + 4.T(n) + 4.T([(n+3)/2])
       < 1 + 4.75.(s^(2n) - 4.s^n) + 4.75.(s^(2[(n+3)/2])) - 4.s^[(n+3)/2])

我们将此与绑定B(n+3)进行比较以建立

1 + 4.75.(s^(2n) - 4.s^n) + 4.75.(s^(2[(n+3)/2])) - 4.s^[(n+3)/2])
     < 75.(s^(2n+6) - 4.s^[(n+3)/2]

我们可以简化术语4.75.s^(2n)并除以300.s^n：

s^(-n)/300 - 4 + s^(-(n+3)%2) - 4.s^([(n+3)/2]-n) < - s^([(n+3)/2]-n)

或

s^(-n)/300 + s^(-(n+3)%2) < 4 + 5.s^([(n+3)/2]-n).

这种不等式适用于任何n，因此T(n) < B(n) => T(n+3) < B(n+3)。

现在对于基本情况，我们使用@CommuSoft给出的T(n)表（并独立检查）并以数字方式验证

T(21) = 744009 < 75.(s^42 - 4.s^21) = 1190400
T(22) = 1622601 < 75.(s^44 - 4.s^22) = 1902217.444...
T(23) = 3015241 < 75.(s^46 - 4.s^23) = 3035425.772...
...
T(41) = 12530692681 < 75.(s^82 - 4.s^41) = 12678879361

这表明可以从n=39开始（[(39+3)/2]=21）应用归纳步骤。

然后

T(n) = O(75.(s^(2n) - 4.s^n)) = O(r^n).

（实际上，对于所有n >= 23，46.r^n < T(n) < 75.r^n，这非常紧张; T(n) = Θ(r^n)。）

非常复杂的递归代码的时间复杂度

3 个答案:

获得更清晰的估计

有什么区别

证明