Question

给出以下解释

问题：我们需要一种有效且无偏见的方式来生成随机数   成对的顶点以执行随机顶点交换。提出一个有效的   算法从{1，（n 2）无序对生成元素   。。。，n}统一随机。

解决方案：令人惊讶的是，均匀地生成随机结构   微妙的问题。请考虑以下过程来生成随机   无序对：i = random int（1，n-1）; j = random int（i + 1，n）;
     很明显，这确实产生了无序对，因为i＆lt;学家   此外，很明显所有（n 2）个无序对确实可以   生成，假设random int统一生成整数   两个论点之间。

但他们是否统一？答案是不。什么是概率   生成对（1,2）？获得1的概率为1 /（n-1），   然后得到2的1 /（n-1）几率，得到p（1,2）= 1 /（n    - 1）2。但是得到的概率是多少（n-1，n）？再一次，那里   获得第一个数字的可能性是1 / n，但现在只有一个   第二位候选人的可能选择！这对将出现n次   比第一次更频繁！问题是较少的对开始   大数字而不是小数字。我们可以解决这个问题   准确计算无序对如何从i开始（确切地说（n - i））   并适当地偏向概率。那么第二个值就可以了   从i + 1到n随机均匀地选择。   但是，不要通过数学计算，让我们利用这个事实   随机生成n2个有序对很容易。选择   两个整数相互独立。忽略订购（即   ，将有序对置换为无序对（x，y），使x <0。 Y）   给出了每个无序对的2 / n ^ 2概率   不同的元素。如果我们碰巧生成一对（x，x），我们就会丢弃   它再试一次。我们将随机均匀地得到无序对   使用以下算法的恒定预期时间：

在上一段中“问题是较少的配对开始大数字而不是小数字。“这不应该是更多的对而不是更少的对
在上面的段落中“我们可以通过精确计算无序对以i开头的方式来解决这个问题（确切地说（n - i））”这不应该是多少无序对而不是无序对

修改

在上一段“忽略排序（即，将有序对置换为无序对（x，y），使x <0。 Y）给出了每个无序对的2 / n ^ 2概率不同的元素。“概率2 / n ^ 2如何得出？

谢谢

Answer 1

在上面的段落＆＃34;问题是较少的对数从大数字开始而不是小数字。＆＃34;不应该是更多的配对而不是更少的配对

不，它少了。：

n - 1 pairs start with 1 (1 2; 1 3; ...; 1 n)
n - 2 pairs start with 2 (2 3; 2 4; ...; 2 n)
n - 3 pairs start with 3
...

在上面的段落＆＃34;我们可以通过精确计算无序对如何从i开始（完全（n-i））＆＃34;来解决这个问题。不应该有多少无序对而不是无序对

是的，有很多＆＃34;很多＆＃34;那里。

在上面的段落＆＃34;忽略排序（即，将有序对置换为无序对（x，y），使得x

有n*n种生成对的可能性，其中顺序很重要（1 2和2 1是不同的对）。由于您继续忽略排序，1 2和2 1都是相同的，因此您有两个有利的案例。

这并不能解释您丢弃x x对的事实。然后它会是2 / (n*(n - 1))，因为如果你选择x一次，那么第二个选择只有n - 1种可能性。

Answer 2

假设你的n项的索引是0 ..（n-1），random(n)给出随机数≥0且＆lt; 0。 n：

i = random(n)
j = random(n-1)
j = (i+j+1) % n

现在，i≠j的每一对（i，j）具有恰好1 /（n（n-1））的概率。显然，交换（i，j）与交换（j，i）具有相同的结果。

你也可以这样做：

i = random(n)
j = random(n)

忽略这可能导致（i，i）对的事实（交换它们将没有效果）。

关于有序对上的随机样本的算法设计手册（Steven Skiena）

2 个答案: