Question

我必须检查包含平方根的不等式。为了避免由于浮点不准确和舍入导致的错误结果，我使用std::nextafter()来获得上限/下限：

#include <cfloat> // DBL_MAX
#include <cmath> // std::nextafter, std::sqrt

double x = 42.0; //just an example number
double y = std::nextafter(std::sqrt(x), DBL_MAX);

a）使用GCC编译器保证y*y >= x吗？

b）这适用于+ - * /甚至std::cos()和std::acos()等其他操作吗？

c）是否有更好的方法来获得上限/下限？

更新： I read这不是C ++标准保证的，但应该符合IEEE-754标准。这可以与GCC编译器一起使用吗？

Answer 1

通常，浮点运算会导致一些ULP错误。 IEEE 754要求大多数操作的结果在0.5 ULP内正确，但错误可能累积，这意味着结果可能不在精确结果的一个ULP内。精度也有限制，因此根据结果值中的位数，您也可能无法使用相同大小的值。对于将误差引入计算，超越函数也有些notorious。

但是，如果您使用GNU glibc，则sqrt将在0.5 ULP（舍入）范围内正确，因此您的具体示例将起作用（忽略NaN，{ {1}}，+/-0）。虽然，将某些epsilon定义为您的容错并将其用作绑定可能更好。例如，

+/-Inf

根据计算中所需的精确程度，您可能还想使用bool gt(double a, double b, double eps) { return (a > b - eps); }。

所以，回答你的问题......

a）使用GCC编译器保证y * y＆gt; = x吗？

假设您使用GNU glibc或SSE2内在函数，是的。

b）这是否适用于其他操作，如+ - * /甚至std :: cos（）和std :: acos（）？

假设您使用GNU glibc和一个操作，是的。虽然一些超验主义并未得到正确的保证。

c）是否有更好的方法来获得上限/下限？

您需要知道计算中的误差容限，并将其用作epsilon（可能大于一个ULP）。

Answer 2

对于GCC this页面建议，如果您使用GCC内置sqrt函数__builtin_sqrt，它将起作用。

此外，此行为将取决于您编译代码的方式以及运行它的机器

如果处理器支持SSE2，那么您应该使用标志-mfpmath=sse -msse2编译代码，以确保使用SSE寄存器完成所有浮点操作。
如果处理器不支持SSE2，则应使用long double类型作为浮点值，并使用标志-ffloat-store进行编译，以强制GCC不使用寄存器来存储浮点数点值（这样做会对性能造成影响）

Answer 3

关于

c）是否有更好的方法来获得上限/下限？

另一种方法是使用不同的rounding mode，即FE_UPWARD或FE_DOWNWARD，而不是默认的FE_TONEAREST。请参阅https://stackoverflow.com/a/6867722这可能是slower，但是上限/下限更好。

c ++ sqrt保证精度，上限/下限

3 个答案: