生成树，最小化连接到多个边的顶点数？

Question

是否有算法可以找到无向图的生成树，从而最大限度地减少连接到多个边的顶点数？

例如，给定一个4 x 4网格图，我们希望在左边找到一个生成树（它有7个顶点连接到多个边）而不是右边的生成树（有12个）：

编辑：如果我们只考虑平面图（甚至只考虑网格图），这个问题会更简单吗？

Answer 1

正如Evgeny在评论中指出的那样，这被称为maximum leaf spanning tree problem。我已经链接到关于非常密切相关的连接支配集问题的维基百科文章，这是找到一组最小顶点的问题，（i）诱导连通子图（ii）满足所有其他的命题顶点v，集合中的一些顶点与v相邻。通过观察，给定生成树，我们可以通过丢弃叶子（具有恰好一个连接的顶点）来构造连通的支配集合，这两个问题显示为解决方案等效，并且给定一个连通的支配集，我们可以提取诱导子图的生成树并将其他顶点作为叶子附加。

不幸的是，这两个问题都是NP难的，并且在平面图的限制下它们仍然是NP难的。我不熟悉有关连接支配集的文献，但我的猜测是有三个角度。

1. 明显＆＃34;快速＆＃34;指数时精确算法/近似算法。
2. 确切的算法不是很快（例如，整数编程），但在实践中很好。
3. 启发式。

＃1可能看起来像一个奇怪的分组，但平面图文献中常见的是精确算法被用作近似算法中的子程序，通常是由于Brenda Baker称为移位的技术。平面图的一个属性是名为treewidth的参数由O（sqrt（n））而不是n限定，并且存在动态程序，其运行时间指数是小得多的树宽度的函数。 （例如，在网格上，您可以逐行运行DP。树分解机制将其概括为任意平面图。）

在不知道实例的情况下甚至可能没有尝试过这些实例的情况下，很难就最佳课程提供建议。我可能会选择＃2门，但我不确定一个好的配方会是什么样子。好消息是，大多数算法复杂性被抽象到您将要使用的求解器库中。这是一种质量未知的配方。

对于所有顶点v，如果x_v是非叶子，则1为v;如果0为叶子，则v为minimize sum_v x_v subject to for all v, sum_{w such that w = v or w ~ v} x_w >= 1 for all v, x_v in {0, 1} 。主导的设定部分很容易。

~

我在这里使用s表示＆＃34;与＆＃34;相邻。实施连接约束比较棘手。我能想到的最简单的方法是按原样求解整数程序，然后查找两个顶点t和U，这两个顶点在解决方案中都被选中但未连接，计算最小顶点分隔符{在不包括所选顶点的分隔符中，s和t之间的{1}}输入约束

(1 - x_s) + (1 - x_t) + sum_{v in U} x_v >= 1

然后再试一次。

我对使用指数级变量的方法更有希望，但实现起来可能要困难得多（行和列生成）。选择将被强制为非叶子的顶点r（猜测或尝试所有可能性）。每个简单路径y_P都有一个变量P，其中r为端点。

minimize sum_v x_v
subject to
for all v, for all P having v as an interior vertex,
  x_v >= y_P
for all v, sum_{P having v as an endpoint} y_P >= 1
for all v, x_v in {0, 1}
for all P, y_P in {0, 1}

Answer 2

不是我知道的。

您可以使用广度优先搜索方法，将所有未访问的顶点添加到队列并访问队列中的下一个顶点。同时，您将根据连接顶点分支的可能边的数量将顶点及其边添加到优先级队列。然后递归地遍历PQ，每次都添加最佳边缘。您只需要减少包含已使用顶点的任何边。然后检查最后一个顶点上是否有更高优先级的边缘，如果是，则回溯。

这是一个丑陋的概念，但在实施方面可能会更糟。

Answer 3

对于4x4，我只需要连接到多个边缘的7个顶点，这样就可以得到9个叶节点。

x-o-x x
  |   |
x-o-x o
  |   |
o-o-o-o
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x x x x

随着尺寸变大，您必须扩展上述模式。

对于10x10，你有59个叶节点

x-o-x x-o-x x-o-x x
  |     |     |   |
x-o-x x-o-x x-o-x o
  |     |     |   |
x-o-x x-o-x x-o-x o
  |     |     |   |
x-o-x x-o-x x-o-x o
  |     |     |   |
x-o-x x-o-x x-o-x o
  |     |     |   |
x-o-x x-o-x x-o-x o
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x-o-x x-o-x x-o-x o
  |     |     |   |
x-o-x x-o-x x-o-x o
  |     |     |   |
o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
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x x x x x x x x x x

对于Rows＆lt;＆gt;的网格。 Cols你必须在两个方向上尝试模式，看看哪个产生最好的结果。