如何在Coq中定义非空集？

Question

在完成许多教程后尝试创建我的第一个Coq定义。想知道如何定义像字母表这样简单的东西，如果定义是：

  

Σ是一个字母表iff它是一个有限的非空符号集。

得到了这么多：

Require Import Coq.Lists.ListSet.

Definition alphabet := set.

但是如何指定“必须是有限的，非空集”部分？

Answer 1

由于您选择alphabet为set，因此定义为有限，因为set被定义为list的实例，并且归纳类型总是有限的

您使用的ListSet库定义了emptyset，因此您的第一个选择就是声明

Definition not_empty (a: alphabet) : Prop := a <> empty_set.

或者您可以依赖于您的集合为list并且表达式匹配的事实：

Definition not_empty (a: alphabet) : bool := match a with
  | nil => false
  | _ => true
end.

（您也可以使用Prop和bool在False而不是True中定义后者。）

编辑：Arthur提出的一些澄清说明（如果你想要更精确的解释，请在这里简化一下，获取一本关于归纳类型的真实教科书）：

归纳型可以通过以下方式居住：

• 有限数量的元素（例如，bool），
• 无限多个元素（例如，nat）
• 根本没有元素（例如False）。

然而，归纳型的任何元素都是通过构造有限的。例如，您可以通过在构造函数S中构建有限的时间来编写任何自然数，但是 在某些时候使用O并且＃39;＆＃39 ;停止＆＃39;＆＃39;你的任期的建设。列表也是如此：您可以构建任意长列表，但其长度始终是有限的。