这种用于计算数组O（n）中的反转的算法是否复杂？

Question

我在Python找到了问题Count inversions in the array的解决方案，它使用＆＃34;非比较排序算法来获取计数＆＃34;。它对代码执行2次递归调用，执行按位运算。

def inv_count(a, m=(1 << 32)):
    if not m or not a:
        return 0
    count = 0
    ones, zeros = [], []
    for n in a:
        if n & m:
            ones.append(n & ~m)
        else:
            count += len(ones)
            zeros.append(n & ~m)
    m /= 2
    return count + inv_count(ones, m) + inv_count(zeros, m)


print inv_count([1, 2, 3, 4, 5])
print inv_count([2, 4, 1, 3, 5])
print inv_count([5, 4, 3, 2, 1])

此解决方案是否真正线性O(n)？

类似的SO问题声称它不可能（Is there an algorithm to count array inversions in linear time?），虽然有很多关于分而治之算法的文献（O(n logn)复杂性），我要感谢有关上述解决方案的一些参考。

Answer 1

它是O（n w），其中最大数小于2 ^ w。如果w = 32，正如代码所假设的那样，则是，这是线性时间算法。另一方面，存在基于O（n log d）时间比较的算法，用于具有至多d个不同元素的输入，当d = 2 ^ w = 2 ^ 32时，该算法也是线性的。 Ω（n log n） - 时间下限适用于基于比较的算法，其中所有输入元素可能是不同的。

Answer 2

是的，对于受数值限制的数字（32位），它是线性的。

与排序计数（https://en.wikipedia.org/wiki/Counting_sort）类似。