Question

我需要一个算法来计算类型的反转：如果a具有较低的索引并且a> b，则存在a和b之间的反转。 2b中。

你能想到一个能在O（n logn）中做到的算法吗？

Answer 1

可以通过合并排序算法中的小调整来完成。 Counting inversions in an array

在合并阶段的常规标准算法中，您比较左半部分和右半部分的元素，并按左部分中剩余的元素数量增加反转。这里我们不是通过左半部分剩余的元素数量来增加，而是通过左半部分剩余的元素数量增加两倍以上。

Answer 2

A[1..n]
B[1..n] = copy(A)
sort(B) //n*log(n)

for i = 1 to n-1
  //log(n)
  exists = specialBinarySearch(B, A[i], 1, n)

  //log(n)    
  setHighest(B, A[i], 1, n)
  if exists
    count++

specialBinarySearch(a, key, from, to)
  if from <= to
    mid = from + (to-from)/2

    if a[mid] < floor(key/2)
      return true
    else //must go to left of it to get even smaller value
      specialBinarySearch(a, key, from, mid-1)
  else
    return false

setHighest(a, key, from, to)
  if from <= to
    mid = from + (to-from)/2
    if a[mid] == key
      a[mid] = INT_MAX
    else if a[mid] < key
      setHighest(a, key, mid+1, to)
    else
      setHighest(a, key, from, mid-1)

行。所以，基本上就是这些步骤。

复制到辅助阵列B.这个O（n）
使用任何n * log ⁿ算法
对于A中的每个元素a，在B中对任何元素B[i]执行二进制搜索，使a > 2*B[i]。为O（log ^名词）。（我编写的算法是为了避免溢出）
由于我们不必考虑B[i]，因此请设置B[i] = infinity使其无法进行比较。另一个二分搜索。为O（log ^名词）
重复3和4直到它耗尽。

所以，我们计算一下

   O(n) + O(n*log(n)) + n*O(log(n))
=> O(n*log(n)) asymptotically

Answer 3

这可以使用动态订单统计数据结构来解决。我知道这种结构有两种选择：

Order statistic tree
Indexable skiplist

按顺序对数组的每个元素（b），在订单统计数据结构中查找值2b的等级。然后将b插入到订单统计数据结构中。

值2b的等级给出了元素a的数量，它们具有较低的索引且小于2b。这些数字的总和给出了“反转”的数量。

用于计算数组中特定类型的反转的算法

3 个答案: