解决动态规划练习的算法（背包式）

Question

这是挑战：输入是N个整数的数组X（N在0到10＆＃39,000范围内，X [i]在-100到100范围内）。目标是找到一个由集合{-1;中的N个整数组成的序列D. 1}这样

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最小化。如果我们输出整数S（不需要明确地找到最小化S的序列D），问题就解决了。

我目前的研究：

1. 计算

   M = sum_i | X [i] |

解决0-1背包问题，M / 2作为背包容量，X作为项目列表。它给出了正确的答案，但复杂性太高了。

1. 对于范围为0到N且r范围为-100到100的整数n，请定义

   如果存在来自集合{-1的整数的长度为n的序列D，则

   s（n，r）= 1; 1}这样r = | sum_ {i = 0到n}（X [i] * D [i]} |

   s（n，r）= 0否则。

然后s具有以下属性：

S = | sum_i (X[i] * D[i]) |

转换为Engish，如果可以使用前n个项目达到r，则可以使用第一个（n - 1）项目到达r - X [n]或r + X [n]。

从这个属性可以很容易地计算出给定范围内任何r的s（N，r）。 当X按递减顺序排序时，它提供了更多返回正确答案的机会，但在某些情况下它仍然不正确。也许可以通过为r提供更大的范围来纠正，但是如果有可接受的范围，我现在还没有。

1. 几何/线性代数方法：将所有可能的序列D视为欧几里德空间中的向量R ^ k（k> = N），并在R ^ k的正交基中划分所有可能的集合D，然后写入X在每个新的基地。但我不希望它会起作用......

提示：

1. N的范围（X的大小）远大于每个X [i]的范围。因此序列X将有重复。

Answer 1

诀窍是D [i]来自X [i]的相反序数排列。这通过确保最小因子乘以最大因子来最小化总和;并且每个较小因素与每个较大因子相关地归纳。从技术上讲，这是因为欧几里德定理;所以总和的每个乘积都具有最小的素因子集。人们可以在一组带有基数N的指数I上找到X的序数排列，这种排序是并行的。理解背包问题的关键是更高维度的旋转对应于向量空间中的换位。