让我们在每个方格上都有一个小方块的字段（给定尺寸）。从每个方块，只能移动到正下方的正方形，或者对角线向左或向右移动。任务是找到通过该领域的旅程的最大组合值。
例如输入
1
6 5
3 1 7 4 2
2 1 3 1 1
1 2 2 1 8
2 2 1 5 3
2 1 4 4 4
5 2 7 5 1
输出应为32，但我的代码输出20。
我的方法是以下列方式详尽地尝试通过该领域的所有可能路线：
y == last_row return value[x,y]
f(x,y)
y != last_row return value[x,y] + max(f(x-1,y+1),f(x,y+1),f(x+1,y+1))
我的方法，代码或两者都有错误吗？
代码在这里：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
using namespace std;
typedef int T;
T max(T x, T y, T z) {
if(x < y) {
if(y < z) return z;
else return y;
}
else {
if(y > z) return x;
else {
if(x > z) return x;
else return z;
}
}
}
//Finds the maximum amount of stones possibly gathered by following coordinates x,y
//The topmost left is (0,0), bottom right is (columns-1,rows-1)
T max_stones_found_following(T x, T y, vector< vector<T> > A) {
//Reached the last row?
if(y == A.size()-1) return A[x][y];
else {
T went_left, went_right, went_down;
if(x-1 >= 0) went_left = max_stones_found_following(x-1, y+1, A);
else went_left = numeric_limits<T>::min();
if(x+1 <= A[x].size()-1) went_right = max_stones_found_following(x+1, y+1, A);
else went_right = numeric_limits<T>::min();
went_down = max_stones_found_following(x, y+1, A);
return A[x][y] + max(went_left, went_right, went_down);
}
}
int main() {
//Initialization
T test_cases, rows, columns, stones_found, max_stones;
vector< vector<T> > A;
cin >> test_cases;
while(test_cases--) {
//Field input
cin >> rows >> columns;
for(int i = 0; i < rows; i++) {
vector<T> row;
for(int j = 0; j < columns; j++) {
T in;
cin >> in;
row.push_back(in);
}
A.push_back(row);
}
max_stones = 0;
stones_found = 0;
//Try starting at different positions in the first row
for(int i = 0; i < columns; i++) {
stones_found = max_stones_found_following(i, 0, A);
if(stones_found > max_stones) max_stones = stones_found;
}
//Output
cout << max_stones << endl;
}
return 0;
}
答案 0 :(得分：3)
你的一些问题：
max需要更复杂。你正在进行许多比较以找到最大值。见下文。i和j反转，根据调用网站i表示column从row 0开始的位置您正在使用的方法max_stones_found_following作为值矩阵的行。固定代码（顺便说一下，它是一个非常慢的大输入数据解决方案，而不是动态编程）：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
using namespace std;
typedef int T;
T max(T x, T y, T z) {
return std::max(x, std::max(y, z));
}
// Finds the maximum amount of stones possibly gathered by following coordinates
// x,y
// The topmost left is (0,0), bottom right is (columns-1,rows-1)
T max_stones_found_following(T x, T y, vector<vector<T>> A) {
// Reached the last row?
if (y == A.size() - 1)
return A[y][x];
else {
T went_left, went_right, went_down;
if (x - 1 >= 0)
went_left = max_stones_found_following(x - 1, y + 1, A);
else
went_left = numeric_limits<T>::min();
if (x + 1 <= A[y].size() - 1)
went_right = max_stones_found_following(x + 1, y + 1, A);
else
went_right = numeric_limits<T>::min();
went_down = max_stones_found_following(x, y + 1, A);
return A[y][x] + max(went_left, went_right, went_down);
}
}
int main() {
// Initialization
T test_cases, rows, columns, stones_found, max_stones;
vector<vector<T>> A;
cin >> test_cases;
while (test_cases--) {
// Field input
cin >> rows >> columns;
for (int i = 0; i < rows; i++) {
vector<T> row;
for (int j = 0; j < columns; j++) {
T in;
cin >> in;
row.push_back(in);
}
A.push_back(row);
}
max_stones = 0;
stones_found = 0;
// Try starting at different positions in the first row
for (int i = 0; i < columns; i++) {
stones_found = max_stones_found_following(i, 0, A);
if (stones_found > max_stones)
max_stones = stones_found;
}
// Output
cout << max_stones << endl;
}
return 0;
}
参见dynamic programming的定义。它适用于解决以下问题：
例如：这个问题可以分为子问题，因为row 0 - ＆gt;的最佳路径是什么？ row i。考虑到这一点row i的最佳路径问题，仅取决于row i-1的最佳路径和ith行的矩阵值。使用此功能，您可以将解决方案扩展到row i，直到到达最后一行。
在最后一行将是该行的每一列之前的最佳路径，搜索最大值。
源代码（动态编程）：
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
typedef std::vector<int> row_t;
typedef std::vector<row_t> matrix_t;
int main() {
// Initialization
int test_cases, rows, columns;
matrix_t A;
std::cin >> test_cases;
while (test_cases--) {
std::cin >> rows >> columns;
for (int i = 0; i < rows; i++) {
row_t row(columns);
int in;
for (int j = 0; j < columns; j++) {
std::cin >> in;
row[j] = in;
}
A.push_back(row);
}
// Dynamic Programming Here
// For storage the best path until each cell
matrix_t best_A (rows, row_t(columns, 0));
std::copy(A[0].cbegin(), A[0].cend(), best_A[0].begin());
for (int i = 1; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < columns; j++) {
// right down
if (j > 0 && best_A[i - 1][j - 1] + A[i][j] > best_A[i][j]) {
best_A[i][j] = best_A[i - 1][j - 1] + A[i][j];
}
// left down
if (j < columns - 1 && best_A[i - 1][j + 1] + A[i][j] > best_A[i][j]) {
best_A[i][j] = best_A[i - 1][j + 1] + A[i][j];
}
// down
if (best_A[i - 1][j] + A[i][j] > best_A[i][j]) {
best_A[i][j] = best_A[i - 1][j] + A[i][j];
}
}
}
// End Dynamic Programming
auto it = std::max_element(best_A[best_A.size() - 1].cbegin(), best_A[best_A.size() - 1].cend());
// Output
std::cout << *it << std::endl;
}
return 0;
}
如前所述，您可以计算row i仅读取前i行的最佳路径，您可以动态执行此操作（读取时，读取第一行，计算最佳起始位置，读取第二行，计算最佳路径，直到第二行的每一列，等等），如果输入真的非常大，这是非常好的。在rows 1..i之前，您也无需保存最佳路径，只需要计算last row和计算actual row的最佳路径。
答案 1 :(得分：2)
动态编程是解决此问题的好方法。但就像匿名评论一样，你没有使用它，或者至少不是以明确的方式使用它。
如果您有C列，那么您有C个可能的起始位置和C个第二个位置，但有3*C - 2对（第一个，第二个）。利用动态编程的方法是注意Markov性质，以及第二行中每个单元格的，以该单元格结尾的所有路径，只保留得分最高的那个。
然后，对于每个额外的行，您再次评估3*C - 2个路径，仅保留C个路径。
重复直到你到达底部。
实现方面，您应该有一个C“最佳”路径到当前行的向量，并构建C到下一行的最佳路径的向量。然后下一行成为当前行（使用vector::swap）。每个“路径”必须至少存储累计值，但存储访问过的位置的历史记录也可能很好。
实际上，您甚至不需要将整个网格存储在内存中。您可以在阅读时对每一行执行所有处理。
注意：在此处使用动态编程会使复杂性R*C代替C * 3^R
提出真正的解决方案实际上非常有趣。警告：提前指示！
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
void solve_one_case();
int main(int argc, char** argv)
{
/* driver */
const std::string input = "6 5\n"
"3 1 7 4 2\n"
"2 1 3 1 1\n"
"1 2 2 1 8\n"
"2 2 1 5 3\n"
"2 1 4 4 4\n"
"5 2 7 5 1";
std::stringbuf inputstream(input, std::ios_base::in);
auto const oldbuf = std::cin.rdbuf();
std::cin.rdbuf(&inputstream);
solve_one_case();
std::cin.rdbuf(oldbuf);
return 0;
}
void solve_one_case()
{
/* get board size from input */
int rows = 1, columns = 1;
std::cin >> rows >> columns;
std::vector<char> route(rows * columns, '|');
/* get first row from input */
std::vector<int> current_row, prev_row;
current_row.resize(columns);
for( int& start_score : current_row )
std::cin >> start_score;
/* get all cells from input, solving */
char* pRoute = &route[columns];
for( int row = 1; row < rows; ++row ) {
prev_row = current_row;
int cell = 0;;
for( int column = 0; column < columns; ++column )
{
std::cin >> cell;
if (column > 0 && prev_row[column-1] > current_row[column]) {
current_row[column] = prev_row[column-1];
*pRoute = '\\';
}
if (column + 1 < columns && prev_row[column+1] > current_row[column]) {
current_row[column] = prev_row[column+1];
*pRoute = '/';
}
current_row[column] += cell;
++pRoute;
}
}
/* find best value in final row */
int best_score = current_row[0], best_end = 0;
for( int i = 1; i < columns; ++i ) {
if (best_score < current_row[i]) {
best_score = current_row[i];
best_end = i;
}
}
std::cout << "Best score is " << best_score << "\n";
/* backtrack along route */
int route_column = best_end;
for( int row = 0; row < rows; ++row ) {
char breadcrumb = '*';
pRoute -= columns;
std::swap(pRoute[route_column], breadcrumb);
switch (breadcrumb) {
case '/': ++route_column; break;
case '\\': --route_column; break;
}
}
/* print routes */
pRoute = &route[0];
for( int row = 0; row < rows; ++row ) {
std::cout.write(pRoute, columns);
pRoute += columns;
std::cout << '\n';
}
std::cout << std::flush;
}
输出：
Best score is 32
||*||
|/|*\
//|\*
/||*|
||*|\
|/*||