优化搜索具有N个顶点和N个边的图中的所有最短路径

Question

我需要找到图G中所有对之间的最短路径。我正在使用Floyd-Warshall算法来计算解决方案。

我需要知道是否有更好的选择来找到关于G这些事实的所有最短路径：

1. G是无向图。
2. 顶点数和边数相同。
3. 所有边缘权重均为正值。

鉴于这些事实，是否有比Floyd-Warshall更好的解决方案？

Answer 1

对稀疏图进行Dijkstra最短路径算法的修改非常快并且显示对数线性（接近线性）渐近行为。你需要从N个顶点进行N次搜索，得到的O（N ^ 2 * LogN）渐近时间优于O（N ^ 3）Floyd-Warshall算法。

可能你的图表有特殊的拓扑结构，允许更有效的方法...

C++ code with Russian description（可由Google Chrome翻译）

我有网格图here的delphi实现。

Answer 2

你试过Johnson的算法吗？它似乎准确地解决了你的问题，即稀疏加权图上的APSP（没有负权重的圆圈） https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson%27s_algorithm

Answer 3

感谢@MBo @DubioserKerl，这是找到的最佳方法。

由于N个顶点和N边缘并且图形已连接，我们知道只有一个周期，因此，该周期可以采用“压缩”的方式并保存“满足度” “与图表的其余部分相关的那个循环。

例如，在下一个图表中，我们可以替换周期c-d-e-g并创建一个新节点h并保存所有外部的循环关系

a -> c
b -> d
f -> g

，因此，如果我们需要找到a和b之间的路径，我们需要

1. 使用基于最短路径的LCA算法在折叠图中查找路径a - b。

2. 找到周期中d - c之间的最短路径



我希望已经足够明确，实施就在这里