使用K个反向边的图形中所有最短路径

Question

假设我有一个有向图G（V，E）在其边缘具有正整数权重，我需要做的是使用最多K（整数）个反向边缘找到所有顶点之间的最短路径。这就是：如果我们在u边，并且从v到u只有一条有向边，我们可以使用它，只要我们没有为此路径使用K个反向边就必须使用C ++并给出最短的边路径。

我考虑过运行dijkstra V次（类似于Johnson的算法），但是我不确定如何利用反向边缘属性。有什么想法吗？

Answer 1

解决此类问题的常用方法通常称为“分层”。您（从概念上）复制图的 K +1个副本，从 G ₀ 到 G _K ，然后在 G u _i > i 到 G 中的顶点 v _{i +1} 如果 G 中从 v 到 u 有一条边，则 _{i +1} 。

从 G ₀ 中的 s ₀ 到 t G _i 中的> i 表示从 s 开始的路径到使用 i 反向边的 G 中的 t ，其中 i 最多为 K 。

您可以仅在此新的分层图上使用Dijkstra的算法。

当您习惯了这一点后，您可以以一种更简单的方式来思考：您只使用Dijkstra的算法，而不是像[reached v > c ]，则您使用的状态为[到达 v ，成本为 c ，并且使用了 i 反向边缘]。通常，当我们在现实生活中使用Dijkstra时，没有给出实际的图，因此将其视为对状态及其过渡的搜索会有所帮助。