启发式算法在一个图表中找到最大权重独立集合

Question

MWIS（最大权重无关集）是一个NP完全问题，所以如果P！= NP，我们找不到足够好的时间复杂度的解决方案。

我正在寻找一种能够在良好的时间复杂度内找到任意图形中MWIS的近似值的算法。我目前正在研究一个包含128个节点和3051个边缘的连通图。

我找到了this paper，但它似乎只适用于具有独特MWIS的二分图。

如果有人可以帮我提供一些参考资料，或者使用工作算法的伪代码，我会很高兴。

Answer 1

可以将此表述为以下问题。假设图中的每个顶点 v 的权重为 w（v）。你定义一个变量 x（v），并使用一些开箱即用的线性编程求解器来解决

max \ sum_v w（v）x（v）（最大化所选顶点的权重）

受

的约束

x（u）+ x（v）＆lt; = 1，（u，v）\ in E （不要带邻居）

和

x（v）\ in {0,1} （只能选择是否取一个顶点）

这是一个组合问题（最后一个约束是顶点数的指数）。有两种方法可以从这里继续：

• 将最后一个约束切换为

  x（v）\ in [0,1] （您选择顶点的程度）

  使用LP解算器解决它，并继续this paper, 4.3。

• 在下面的评论中，David Eisenstat声称，对于图表的大小，整数解算器会很好（并产生更好的结果）

Answer 2

如@Ami所引用的论文中所建议的，这是为MWIS查找最小加权度顶点的代码。

import networkx as nx
import numpy as np
graph = nx.generators.random_graphs.barabasi_albert_graph(50,10)
for u in graph:
    graph.nodes[u]['weight'] = np.random.uniform(0,1)

adj_0 = nx.adj_matrix(graph).todense()
a = -np.array([graph.nodes[u]['weight'] for u in graph.nodes])
IS = -np.ones(adj_0.shape[0])
while np.any(IS==-1):
    rem_vector = IS == -1
    adj = adj_0.copy()
    adj = adj[rem_vector, :]
    adj = adj[:, rem_vector]

    u = np.argmin(a[rem_vector].dot(adj!=0)/a[rem_vector])
    n_IS = -np.ones(adj.shape[0])
    n_IS[u] = 1
    neighbors = np.argwhere(adj[u,:]!=0)
    if neighbors.shape[0]:
        n_IS[neighbors] = 0
    IS[rem_vector] = n_IS
print IS

IS是最小加权独立集。

Answer 3

要解决 MWIS，您可以在补充图上使用最大权重团求解器。 TSM-MWC 是一个用 C 实现的快速算法。如果你的图不是太大，你可以使用 Python 中的 Networkx 解决这个问题：这里是 complement 和 {{3 }} 函数。