Question

我在编程竞赛中遇到了这个问题，但无法解决。

给定范围0到n以及以下格式给出的一些数字对：

a1 b1
a2 b2
a3 b3
. .
. .
am bm

其中：0<=ai,bi<=n, 1<= n,m < 1,000,000

如果ai<=bi，那么(ai,bi)对将涵盖ai到bi之间的所有数字，包括他们自己，

其他ai>bi然后对(ai,bi)涵盖ai到n和0到bi之间的所有数字，包括他们自己。

目标是找到最小数量的对，以涵盖0到n之间的整个范围。

编辑：如果不可能覆盖所有对的整个范围，则结果为-1。

Answer 1

我相信以下贪婪算法应该有用。

首先，按(x, y)对x对进行排序（您可以将x > y对分成[0, y]，[x, n]）。现在，选择第一个，并将指针current设置为第一个间隔。

然后，将current指针移至x <= current.y和最大y（最大y大于当前y）的对。

最后，检查[first_pick.x, last_pick.y]是否涵盖您的范围，如果不是，则输出-1。

示例：

选择1 3。我们继续从此位置扫描数组并将当前设置为3 7，因为这仍然是第一个间隔的交叉点，并且具有最大的y。到目前为止，我们选择了：

1 3
3 7

从此处继续扫描，选择4 10，我们就完成了：

1 3
3 7
4 10
=> [1 10] covered

这很容易在O(n^2)中实现，并且可以在排序之后在O(n)中实现，同时跟踪最后拾取的元素和倒数第二个拾取的元素。然后，对于一个考虑过的对，您可以决定是否将该对作为新的最后一个拾取元素，或者除去当前最后一个拾取的元素并将其替换为当前考虑的对。

# after the sort
pick first
for i = 1 to len(given pairs):
  if pairs[i].x <= picked[-1].y and pairs[i].y > picked[-1].y:
    if len(picked) > 1 and pairs[i].x <= picked[-2].y:
      picked[-1] = pairs[i]
    else:
      picked.append(pairs[i])

Answer 2

我就是这样做的，我相信它在O（n ^ 2）时间运行。

让我们使用set abstractions。将每对映射到它涵盖的一组整数。这抽象出a和b之间的比较。因此，对于n = 6，(1, 5) = {1, 2, 3, 4, 5}，(3, 1) = {0, 1, 3, 4, 5, 6}。

然后我们要覆盖一组0到n的整数。称之为G（目标）。

使用贪婪方法，我们遍历从对生成的所有集合，找到与G交叉元素最多的那个集合。从G中删除这些元素，并将1添加到我们的计数器。

使用for循环迭代，并在没有剩余元素时完成。或者返回-1，此时特定迭代的任何集合都不会从交集中生成更多元素。

每次迭代时，我们都会减小目标集的大小，然后我们选择覆盖其余大部分元素的对。因此，当我们完成时，我们保证最低限度。

最小对覆盖从0到n的所有整数

2 个答案: